Prove ou dê um contra-exemplo para as afirmações abaixo:
Se E(X) e E(Y) forem finitas, então E(X Y) também é finita.

Passo 1

O enunciado pergunta se sempre vale que, quando \mathbb{E}(X) e \mathbb{E}(Y) existem (são finitas), então \mathbb{E}(X\,Y) também é finita. Vamos ver que isso não é verdade, exibindo um contra-exemplo concreto: construiremos uma lei conjunta de (X,Y) tal que \mathbb{E}(X)<\infty, \mathbb{E}(Y)<\infty e, ainda assim, \mathbb{E}(X\,Y)=\infty.

Passo 2

Definimos uma distribuição discreta em que
P\bigl(X=2^n,\;Y=2^n\bigr)=p_n,\quad n=1,2,3,\dots
e colocamos o restante da massa em (0,0), ou seja,
P\bigl(X=0,Y=0\bigr)=1-\sum_{n=1}^\infty p_n.
Escolhemos
p_n = \frac{2/3}{3^n},
para que \sum_{n=1}^\infty p_n = \frac{2/3}{1-1/3} = 1, de modo que P(X=0,Y=0)=0.

Passo 3

Calculamos \mathbb{E}(X). Como X=0 com probabilidade zero fora da soma (e X=2^n com probabilidade p_n),
\mathbb{E}(X) =\sum_{n=1}^\infty 2^n\,p_n =\sum_{n=1}^\infty 2^n\cdot\frac{2/3}{3^n} =\frac{2}{3}\sum_{n=1}^\infty\Bigl(\frac{2}{3}\Bigr)^n =\frac{2}{3}\cdot\frac{2/3}{1-2/3} =\frac{4}{3},
que é finito.

Passo 4

Por simetria, \mathbb{E}(Y) é igual a \mathbb{E}(X), logo
\mathbb{E}(Y) =\sum_{n=1}^\infty 2^n\,p_n =\frac{4}{3} <\infty.

Passo 5

Finalmente, vamos a \mathbb{E}(X\,Y). Como X\,Y=2^n\cdot2^n=4^n quando (X,Y)=(2^n,2^n),
\mathbb{E}(X\,Y) =\sum_{n=1}^\infty 4^n\,p_n =\sum_{n=1}^\infty 4^n\cdot\frac{2/3}{3^n} =\frac{2}{3}\sum_{n=1}^\infty\Bigl(\frac{4}{3}\Bigr)^n.
Mas \frac{4}{3}>1, então \sum (4/3)^n=\infty. Assim
\mathbb{E}(X\,Y)=\infty.

Resposta

O enunciado é falso. O contra-exemplo acima mostra que podem existir X e Y com \mathbb{E}(X)<\infty e \mathbb{E}(Y)<\infty mas \mathbb{E}(X\,Y)=\infty.

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