Prove ou dê um contra-exemplo para as afirmações abaixo:
Se
e
forem finitas, então
também é finita.
Se
Passo 1
O enunciado pergunta se sempre vale que, quando
e
existem (são finitas), então
também é finita. Vamos ver que isso não é verdade, exibindo um contra-exemplo concreto: construiremos uma lei conjunta de
tal que
,
e, ainda assim,
.
Passo 2
Definimos uma distribuição discreta em que
e colocamos o restante da massa em
, ou seja,
Escolhemos
para que
, de modo que
.
Passo 3
Calculamos
. Como
com probabilidade zero fora da soma (e
com probabilidade
),
que é finito.
Passo 4
Por simetria,
é igual a
, logo
Passo 5
Finalmente, vamos a
. Como
quando
,
Mas
, então
. Assim
Resposta
O enunciado é falso. O contra-exemplo acima mostra que podem existir
e
com
e
mas
.