Quantas são as permutações de (
) nas quais nenhum número impar ocupa o seu lugar primitivo?
Passo 1
O enunciado pede o número de permutações de
em que nenhum número ímpar ocupa sua posição original.
Conteúdo: Princípio da Inclusão-Exclusão aplicado a pontos fixos em permutações.
Conteúdo: Princípio da Inclusão-Exclusão aplicado a pontos fixos em permutações.
Passo 2
Vamos indexar os números ímpares por
. Para cada ímpar
, defina o evento
“na permutação,
fica fixo” (isto é,
). Queremos contar as permutações que evitam todos os
.
Passo 3
Pelo Princípio da Inclusão-Exclusão, se há
ímpares, o número desejado é
Escolher
ímpares a fixar:
. Após fixá-los, restam
elementos livres, que podem permutar de
formas.
Passo 4
Logo, o total de permutações em que nenhum ímpar fica em seu lugar é