De quantos modos diferentes podem ser dispostos em fila
pessoas (todas de alturas diferentes), sendo
mulheres e
homens:
(a) sem restrições?
(b) de modo que pessoas do mesmo sexo fiquem juntas?
(c) de modo que pessoas do mesmo sexo fiquem juntas, respeitando se a ordem crescente de altura?
(a) sem restrições?
(b) de modo que pessoas do mesmo sexo fiquem juntas?
(c) de modo que pessoas do mesmo sexo fiquem juntas, respeitando se a ordem crescente de altura?
Passo 1
O enunciado pede o número de arranjos em fila de
pessoas distintas (todas com alturas diferentes), sendo
mulheres e
homens, sob três condições diferentes. O conteúdo envolve noções de permutação simples e o princípio das “permutações com blocos” quando elementos de mesmo tipo devem ficar juntos.
Passo 2
(a) Sem nenhuma restrição, todas as
pessoas são distintas e podem ocupar livremente as posições. Logo, o número de arranjos é simplesmente a permutação de
elementos:
Passo 3
(b) Para que as pessoas do mesmo sexo fiquem juntas, agrupamos as
mulheres em um bloco e os
homens em outro bloco. Primeiro, esses dois blocos podem ser dispostos entre si de
maneiras (ou vem o bloco das mulheres primeiro, ou o dos homens). Depois, dentro de cada bloco as pessoas são todas distintas, então há
arranjos no bloco feminino e
no bloco masculino. Assim:
Passo 4
(c) Agora mantemos os blocos de sexo, mas impomos que, dentro de cada bloco, a ordem respeite a altura em ordem crescente. Nesse caso não há liberdade interna: em cada bloco só há
forma de organizar as alturas em ordem crescente. Resta apenas escolher a ordem dos dois blocos, o que dá
possibilidades:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)