De quantos modos diferentes podem ser dispostos em fila m+h pessoas (todas de alturas diferentes), sendo m mulheres e h homens:
(a) sem restrições?
(b) de modo que pessoas do mesmo sexo fiquem juntas?
(c) de modo que pessoas do mesmo sexo fiquem juntas, respeitando se a ordem crescente de altura?

Passo 1

O enunciado pede o número de arranjos em fila de m+h pessoas distintas (todas com alturas diferentes), sendo m mulheres e h homens, sob três condições diferentes. O conteúdo envolve noções de permutação simples e o princípio das “permutações com blocos” quando elementos de mesmo tipo devem ficar juntos.

Passo 2

(a) Sem nenhuma restrição, todas as m+h pessoas são distintas e podem ocupar livremente as posições. Logo, o número de arranjos é simplesmente a permutação de (m+h) elementos:
(m+h)!

Passo 3

(b) Para que as pessoas do mesmo sexo fiquem juntas, agrupamos as m mulheres em um bloco e os h homens em outro bloco. Primeiro, esses dois blocos podem ser dispostos entre si de 2 maneiras (ou vem o bloco das mulheres primeiro, ou o dos homens). Depois, dentro de cada bloco as pessoas são todas distintas, então há m! arranjos no bloco feminino e h! no bloco masculino. Assim:
2 \times m! \times h!

Passo 4

(c) Agora mantemos os blocos de sexo, mas impomos que, dentro de cada bloco, a ordem respeite a altura em ordem crescente. Nesse caso não há liberdade interna: em cada bloco só há 1 forma de organizar as alturas em ordem crescente. Resta apenas escolher a ordem dos dois blocos, o que dá 2 possibilidades:
2 \times 1 \times 1 = 2

Resposta

(a) (m+h)!
(b) 2\,m!\,h!
(c) 2

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