Prove as identidades:
;
Passo 1
O enunciado pede para provar a identidade envolvendo coeficientes binomiais
O conteúdo aqui é manipulação de fatoriais e interpretação combinatória de
.
Passo 2
Começamos pelo lado esquerdo usando a definição de
:
Como
, podemos simplificar
:
Passo 3
Fazendo essa simplificação,
Em seguida usamos
e notamos que
. Logo,
Passo 4
Interpretação combinatória (cheia de intuição):
Ambos os lados contam de formas diferentes o número de comissões de pessoas com um presidente escolhido.
Ambos os lados contam de formas diferentes o número de comissões de
- LHS: primeiro escolho as
pessoas ( ) e depois escolho o presidente entre elas ( maneiras). - RHS: escolho primeiro o presidente entre
pessoas ( maneiras) e depois escolho os membros restantes entre os que sobraram ( ).