Prove as identidades:
p C_{n}^{p}=n C_{n-1}^{p-1};

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade envolvendo coeficientes binomiais
p\,\binom{n}{p} \;=\; n\,\binom{n-1}{p-1}.
O conteúdo aqui é manipulação de fatoriais e interpretação combinatória de \binom{n}{p}=\dfrac{n!}{p!\,(n-p)!}.

Passo 2

Começamos pelo lado esquerdo usando a definição de \binom{n}{p}:
p\,\binom{n}{p} = p\;\frac{n!}{p!\,(n-p)!}.
Como p!=p\,(p-1)!, podemos simplificar p/p!:

Passo 3

Fazendo essa simplificação,
p\,\frac{n!}{p!\,(n-p)!} =\frac{n!}{(p-1)!\,(n-p)!}.
Em seguida usamos n!=n\,(n-1)! e notamos que (n-p)! = \bigl((n-1)-(p-1)\bigr)!. Logo,
\frac{n!}{(p-1)!\,(n-p)!} = n\,\frac{(n-1)!}{(p-1)!\,\bigl((n-1)-(p-1)\bigr)!} = n\,\binom{n-1}{p-1}.

Passo 4

Interpretação combinatória (cheia de intuição):
Ambos os lados contam de formas diferentes o número de comissões de p pessoas com um presidente escolhido.
  • LHS: primeiro escolho as p pessoas ( \binom{n}{p}) e depois escolho o presidente entre elas ( p maneiras).
  • RHS: escolho primeiro o presidente entre n pessoas ( n maneiras) e depois escolho os p-1 membros restantes entre os n-1 que sobraram ( \binom{n-1}{p-1}).

Resposta

p\,\binom{n}{p} = n\,\binom{n-1}{p-1}.

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