São dados os pontos A, B, C e D sobre uma reta m e A, F, G, H e I sobre uma reta n, distinta de m. Quantos triângulos podem ser formados unindo-se estes pontos?

Passo 1

Temos sobre a reta m os pontos A,B,C,D e sobre a reta n os pontos A,F,G,H,I. Como A pertence a ambas, no total há 8 pontos distintos. Queremos contar quantos triângulos podem ser formados, sabendo que três pontos colineares não geram triângulo.

Passo 2

Primeiro contamos todas as escolhas de três pontos dentre os 8. Isso é dado por
\displaystyle \binom{8}{3} = 56.

Passo 3

Agora subtraímos os trios colineares.
Na reta m 4 pontos, gerando
\displaystyle \binom{4}{3} = 4 trios colineares.
Na reta n 5 pontos, gerando
\displaystyle \binom{5}{3} = 10 trios colineares.

Passo 4

Logo o número de triângulos é
56 - 4 - 10 = 42.

Resposta

42

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