Redação Há uma relação entre independência e exclusividade mútua? Para decidir, encontre exemplos do que temos a seguir, se possivel.
(a) Descrever dois eventos que sejam dependentes e mutuamente exclusivos.
(b) Descrever dois eventos que sejam independentes e mutuamente exclusivos.
(c) Descrever dois eventos que sejam dependentes e não sejam mutuamente exclusivos.
(d) Descrever dois eventos que sejam independentes e que não sejam mutuamente exclusivos.
(a) Descrever dois eventos que sejam dependentes e mutuamente exclusivos.
(b) Descrever dois eventos que sejam independentes e mutuamente exclusivos.
(c) Descrever dois eventos que sejam dependentes e não sejam mutuamente exclusivos.
(d) Descrever dois eventos que sejam independentes e que não sejam mutuamente exclusivos.
Passo 1
O enunciado pergunta se existe alguma relação entre independência e exclusividade mútua em teoria das probabilidades e pede exemplos de pares de eventos em quatro situações:
- (a) dependentes e mutuamente exclusivos
- (b) independentes e mutuamente exclusivos
- (c) dependentes e não mutuamente exclusivos
- (d) independentes e não mutuamente exclusivos
O conteúdo que vamos usar é definição de eventos mutuamente exclusivos e definição de independência de eventos, além de exemplos simples em espaço amostral finito (como o lançamento de um dado).
Passo 2
Definições principais:
– Dois eventos e
são mutuamente exclusivos se
– Dois eventos
– Dois eventos
e
são independentes se
Independer significa que saber que
ocorreu não altera a probabilidade de
ocorrer.
Passo 3
Analisando a relação:
Se e
são mutuamente exclusivos então
. Para que sejam também independentes, deveríamos ter
Se
Isso só ocorre se
ou
. Logo, dois eventos mutuamente exclusivos só podem ser independentes no caso trivial em que um deles tem probabilidade zero.
Passo 4
(a) Exemplos de eventos dependentes e mutuamente exclusivos
No lançamento de um dado justo: e
.
Aqui ,
. Logo são mutuamente exclusivos e, como
, são dependentes.
No lançamento de um dado justo:
Aqui
Passo 5
(b) Exemplos de eventos independentes e mutuamente exclusivos
Ainda no dado: escolha (evento impossível,
) e
.
Então e
, satisfazendo a independência, e
garante exclusividade.
Ainda no dado: escolha
Então
Passo 6
(c) Exemplos de eventos dependentes e não mutuamente exclusivos
No dado: e
.
Temos ,
,
com
. Como
, são dependentes e não exclusivos.
No dado:
Temos
Passo 7
(d) Exemplos de eventos independentes e não mutuamente exclusivos
No dado: e
.
Aqui ,
, e
No dado:
Aqui
Além disso
, logo não são mutuamente exclusivos e são independentes.
Resposta
(a) No lançamento de um dado,
e
.
(b) No dado, (evento impossível) e
.
(c) No dado, e
.
(d) No dado, e
.
(b) No dado,
(c) No dado,
(d) No dado,