Redação Há uma relação entre independência e exclusividade mútua? Para decidir, encontre exemplos do que temos a seguir, se possivel.
(a) Descrever dois eventos que sejam dependentes e mutuamente exclusivos.
(b) Descrever dois eventos que sejam independentes e mutuamente exclusivos.
(c) Descrever dois eventos que sejam dependentes e não sejam mutuamente exclusivos.
(d) Descrever dois eventos que sejam independentes e que não sejam mutuamente exclusivos.

Passo 1

O enunciado pergunta se existe alguma relação entre independência e exclusividade mútua em teoria das probabilidades e pede exemplos de pares de eventos em quatro situações:
  • (a) dependentes e mutuamente exclusivos
  • (b) independentes e mutuamente exclusivos
  • (c) dependentes e não mutuamente exclusivos
  • (d) independentes e não mutuamente exclusivos
    O conteúdo que vamos usar é definição de eventos mutuamente exclusivos e definição de independência de eventos, além de exemplos simples em espaço amostral finito (como o lançamento de um dado).

Passo 2

Definições principais:
– Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos se
P(A\cap B)=0.
– Dois eventos A e B são independentes se
P(A\cap B)=P(A)\,P(B).
Independer significa que saber que A ocorreu não altera a probabilidade de B ocorrer.

Passo 3

Analisando a relação:
Se A e B são mutuamente exclusivos então P(A\cap B)=0. Para que sejam também independentes, deveríamos ter
0 = P(A\cap B) = P(A)\,P(B).
Isso só ocorre se P(A)=0 ou P(B)=0. Logo, dois eventos mutuamente exclusivos só podem ser independentes no caso trivial em que um deles tem probabilidade zero.

Passo 4

(a) Exemplos de eventos dependentes e mutuamente exclusivos
No lançamento de um dado justo: A=\{\text{saída 1}\}í e B=\{\text{saída 2}\}í.
Aqui P(A)=P(B)=\tfrac{1}{6}, P(A\cap B)=0\ne P(A)P(B)=\tfrac{1}{36}. Logo são mutuamente exclusivos e, como P(A\cap B)\neq P(A)P(B), são dependentes.

Passo 5

(b) Exemplos de eventos independentes e mutuamente exclusivos
Ainda no dado: escolha A=\{\text{saída 7}\}í (evento impossível, P(A)=0) e B=\{\text{saída é par}\}íé.
Então P(A\cap B)=0 e P(A)P(B)=0\cdot\tfrac{1}{2}=0, satisfazendo a independência, e A\cap B=\varnothing garante exclusividade.

Passo 6

(c) Exemplos de eventos dependentes e não mutuamente exclusivos
No dado: A=\{\text{saída é par}\}=\{2,4,6\}íé e B=\{\text{saída maior que 3}\}=\{4,5,6\}í.
Temos P(A)=\tfrac{1}{2}, P(B)=\tfrac{1}{2}, A\cap B=\{4,6\} com P(A\cap B)=\tfrac{2}{6}=\tfrac{1}{3}. Como \tfrac{1}{3}\neq\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{4}, são dependentes e não exclusivos.

Passo 7

(d) Exemplos de eventos independentes e não mutuamente exclusivos
No dado: A=\{\text{saída é ímpar}\}=\{1,3,5\}íéí e B=\{\text{saída é 1 ou 2}\}=\{1,2\}íé.
Aqui P(A)=\tfrac{1}{2}, P(B)=\tfrac{2}{6}=\tfrac{1}{3}, e
P(A\cap B)=P(\{1\})=\tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{3}=P(A)P(B).
Além disso A\cap B=\{1\}\neq\varnothing, logo não são mutuamente exclusivos e são independentes.

Resposta

(a) No lançamento de um dado, A=\{1\} e B=\{2\}.
(b) No dado, A=\{7\} (evento impossível) e B=\{\text{saída par}\}í.
(c) No dado, A=\{\text{saída par}\}í e B=\{\text{saída maior que 3}\}í.
(d) No dado, A=\{\text{saída ímpar}\}íí e B=\{1,2\}.

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