1. São dados três grupos de observações:
Grupo A 15 18 18 20 19 24 19
Grupo B 19 20 16 21 19 15 9 13 19
Grupo C 29 27 23 20 21
Podemos identificar, aos níveis de significância usuais, a existência de diferença entre as médias das populações das quais provieram essas amostras?

Passo 1

O enunciado fornece três amostras independentes extraídas de populações cujas médias comparamos. O objetivo é verificar, aos níveis de significância usuais (por exemplo, \alpha=0,05 ou \alpha=0,01), se pelo menos uma das médias é diferente. O método apropriado é a ANOVA unidirecional (one‐way ANOVA), que exige calcular as médias de cada grupo, a média geral, as somas de quadrados entre e dentro dos grupos e, por fim, a estatística F.

Passo 2

Calcule as médias amostrais de cada grupo e a média geral.
Grupo A n_A=7:
\sum_A = 15+18+18+20+19+24+19 = 133,
\bar y_A = \frac{133}{7} = 19{,}00.
Grupo B n_B=9:
\sum_B = 19+20+16+21+19+15+9+13+19 = 151,
\bar y_B = \frac{151}{9} \approx 16{,}78.
Grupo C n_C=5:
\sum_C = 29+27+23+20+21 = 120,
\bar y_C = \frac{120}{5} = 24{,}00.
Total de observações N = 7+9+5 = 21 e soma total \sum_{\text{tot}} = 133+151+120 = 404.
A média geral é
\bar y = \frac{404}{21} \approx 19{,}24.

Passo 3

Calcule a soma de quadrados entre os grupos (SSB):
\mathrm{SSB} = n_A(\bar y_A - \bar y)^2 + n_B(\bar y_B - \bar y)^2 + n_C(\bar y_C - \bar y)^2.
Substituindo,
\mathrm{SSB} = 7\,(19{,}00 - 19{,}24)^2 + 9\,(16{,}78 - 19{,}24)^2 + 5\,(24{,}00 - 19{,}24)^2 \approx 0{,}396 + 54{,}468 + 113{,}386 = 168{,}25.

Passo 4

Calcule a soma de quadrados dentro dos grupos (SSE) somando as variâncias amostrais vezes n_i-1.
Para A:
\mathrm{SS}_A = \sum (y_{Ai}-\bar y_A)^2 = 44.
Para B:
\mathrm{SS}_B = \sum (y_{Bi}-\bar y_B)^2 \approx 121{,}53.
Para C:
\mathrm{SS}_C = \sum (y_{Ci}-\bar y_C)^2 = 60.
Logo,
\mathrm{SSE} = 44 + 121{,}53 + 60 = 225{,}53.

Passo 5

Forme os quadrados médios e a estatística F:
graus de liberdade entre df_1 = k-1 = 2, dentro df_2 = N-k = 18.
\mathrm{MSB} = \frac{\mathrm{SSB}}{df_1} = \frac{168{,}25}{2} = 84{,}125, \qquad \mathrm{MSW} = \frac{\mathrm{SSE}}{df_2} = \frac{225{,}53}{18} \approx 12{,}529.
F = \frac{\mathrm{MSB}}{\mathrm{MSW}} \approx \frac{84{,}125}{12{,}529} \approx 6{,}71.

Passo 6

Compare com o valor crítico de F_{2,18}. Para \alpha=0,05, F_{2,18;0,95}\approx3{,}55. Como 6{,}71 > 3{,}55, rejeitamos H_0 ao nível de 5%. Para \alpha=0,01, F_{2,18;0,99}\approx6{,}01 e 6{,}71>6{,}01, rejeitamos também ao nível de 1%. Portanto, há evidência suficiente de que nem todas as médias são iguais.

Resposta

Rejeita-se H_0; existe diferença significativa entre as médias dos três grupos.

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