Seja F(.() a função de distribuição de alguma variável aleatória. Para as funções) G, definidas abaixo, avalie quais podem ser função de distribuição conjunta:
G(x, y)=F(x) F(y) ; x, y \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado dá uma função F que é função de distribuição univariada (CDF) e define
G(x,y)=F(x)\,F(y), \quad x,y\in\mathbb{R}.
Precisamos verificar se G satisfaz as quatro propriedades de uma CDF conjunta:
  1. limites marginais (quando um ou ambos argumentos vão a -\infty ou +\infty),
  2. continuidade à direita em cada variável,
  3. monotonicidade retangular (incrementos não negativos).

Passo 2

Verificação dos limites marginais:
  • Para x\to -\infty temos F(x)\to 0, logo
    \displaystyle \lim_{x\to-\infty}G(x,y)=0\cdot F(y)=0.
  • De modo análogo, \displaystyle \lim_{y\to-\infty}G(x,y)=0.
  • Para x\to+\infty obtemos F(x)\to1, logo
    \displaystyle \lim_{x\to+\infty}G(x,y)=1\cdot F(y)=F(y).
  • Quando ambos vão a +\infty,
    \displaystyle \lim_{x,y\to+\infty}G(x,y)=1\cdot1=1.

Passo 3

Como F é contínua à direita, o produto de duas funções contínuas à direita também o é. Logo G é contínua à direita em x e em y.

Passo 4

Verificação da monotonicidade retangular: para x_1<x_2 e y_1<y_2, definimos
\Delta =G(x_2,y_2)-G(x_1,y_2)-G(x_2,y_1)+G(x_1,y_1).
Substituindo G,
\Delta =F(x_2)F(y_2)-F(x_1)F(y_2)-F(x_2)F(y_1)+F(x_1)F(y_1) =[F(x_2)-F(x_1)]\,[F(y_2)-F(y_1)]\ge0,
pois F é não decrescente. Assim, os incrementos sobre qualquer retângulo são não negativos.

Resposta

A função
G(x,y)=F(x)\,F(y)
satisfaz todas as propriedades de uma função de distribuição conjunta. É, de fato, a CDF de duas variáveis independentes com distribuição marginal F.

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