Seja
.() a função de distribuição de alguma variável aleatória. Para as funções)
, definidas abaixo, avalie quais podem ser função de distribuição conjunta:
.
Passo 1
O enunciado dá uma função
que é função de distribuição univariada (CDF) e define
Precisamos verificar se
satisfaz as quatro propriedades de uma CDF conjunta:
- limites marginais (quando um ou ambos argumentos vão a
ou ), - continuidade à direita em cada variável,
- monotonicidade retangular (incrementos não negativos).
Passo 2
Verificação dos limites marginais:
- Para
temos , logo
- De modo análogo,
- Para
obtemos , logo
- Quando ambos vão a
,
Passo 3
Como
é contínua à direita, o produto de duas funções contínuas à direita também o é. Logo
é contínua à direita em
e em
.
Passo 4
Verificação da monotonicidade retangular: para
e
, definimos
Substituindo
,
pois
é não decrescente. Assim, os incrementos sobre qualquer retângulo são não negativos.
Resposta
A função
satisfaz todas as propriedades de uma função de distribuição conjunta. É, de fato, a CDF de duas variáveis independentes com distribuição marginal
.