Seja F(.() a função de distribuição de alguma variável aleatória. Para as funções) G, definidas abaixo, avalie quais podem ser função de distribuição conjunta:
G(x, y)=\max (F(x), F(y)) ; x, y \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado nos dá uma função de distribuição univariada F e define
G(x,y)=\max\bigl(F(x),\,F(y)\bigr), \quad x,y\in\mathbb{R}.
Queremos ver se há alguma maneira de G ser uma função de distribuição conjunta de um par (X,Y). Para isso, lembramos as propriedades que toda função de distribuição conjunta H(x,y) deve satisfazer:
1. H é não decrescente em cada variável.
2. \lim_{x,y\to+\infty}H(x,y)=1.
3. Para todo y fixo, \lim_{x\to-\infty}H(x,y)=0, e análogo trocando x,y.
4. H é direita‐contínua e 2‐increasing (satisfaça desigualdades de inclusão–exclusão).

Passo 2

Verificamos rapidamente que G é não decrescente em x e y (pois F é não decrescente e a operação \max preserva ordem) e que
\lim_{x,y\to+\infty}G(x,y) =\max\bigl(\lim_{x\to\infty}F(x),\lim_{y\to\infty}F(y)\bigr) =\max(1,1)=1.
Até aqui tudo bem.

Passo 3

Agora veja o comportamento quando uma das variáveis tende a -\infty. Por exemplo, para y fixo e x\to-\infty,
\lim_{x\to-\infty}G(x,y) =\max\!\bigl(\lim_{x\to-\infty}F(x),\,F(y)\bigr) =\max(0,\,F(y))=F(y).
Mas F(y) em geral é maior que zero. Contudo, toda CDF conjunta H deve satisfazer \lim_{x\to-\infty}H(x,y)=0. Aqui obtemos F(y)\neq0, violando essa propriedade.

Passo 4

Como G não zera quando uma das variáveis vai a -\infty, falha na condição necessária de borda para CDFs conjuntas. Logo, G não pode ser função de distribuição conjunta de nenhum par (X,Y).

Resposta

Nenhuma.

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