Seja
.() a função de distribuição de alguma variável aleatória. Para as funções)
, definidas abaixo, avalie quais podem ser função de distribuição conjunta:
.
Passo 1
O enunciado nos dá uma função de distribuição univariada
e define
Queremos ver se há alguma maneira de
ser uma função de distribuição conjunta de um par
. Para isso, lembramos as propriedades que toda função de distribuição conjunta
deve satisfazer:
.
é não decrescente em cada variável.
.
.
. Para todo
fixo,
, e análogo trocando
.
.
é direita‐contínua e
‐increasing (satisfaça desigualdades de inclusão–exclusão).
Passo 2
Verificamos rapidamente que
é não decrescente em
e
(pois
é não decrescente e a operação
preserva ordem) e que
Até aqui tudo bem.
Passo 3
Agora veja o comportamento quando uma das variáveis tende a
. Por exemplo, para
fixo e
,
Mas
em geral é maior que zero. Contudo, toda CDF conjunta
deve satisfazer
. Aqui obtemos
, violando essa propriedade.
Passo 4
Como
não zera quando uma das variáveis vai a
, falha na condição necessária de borda para CDFs conjuntas. Logo,
não pode ser função de distribuição conjunta de nenhum par
.
Resposta
Nenhuma.