Seja
uma variável aleatória com função de distribuição
. Seja
com função de distribuição
. Mostre que:
a.
, se
é monótona crescente.
b.
, se
é monótona decrescente.
a.
b.
Passo 1
O enunciado define uma variável aleatória
com função de distribuição
e uma transformação
cujas marginais são
e
. Queremos encontrar a distribuição conjunta
nos dois casos em que
é monótona crescente ou monótona decrescente. Para isso, usaremos a inversibilidade de
(pois é estritamente monotônica) e as propriedades de
.
Passo 2
Suponha
monótona crescente. Então
Logo
Por outro lado,
Como
é não decrescente,
Passo 3
Suponha
monótona decrescente. Então
Logo
Mas
Substituindo,
e garantindo não negatividade, obtemos
Resposta
a.
se
é monótona crescente.
b.
se
é monótona decrescente.