Seja X uma variável aleatória com função de distribuição F_{X}. Seja Y=h(X) com função de distribuição F_{Y}. Mostre que:
a. F_{X, Y}(x, y)=\min \left\{F_{X}(x), F_{Y}(y)\right\}, se h é monótona crescente.
b. F_{X, Y}(x, y)=\max \left\{F_{X}(x)+F_{Y}(y)-1,0\right\}, se h é monótona decrescente.

Passo 1

O enunciado define uma variável aleatória X com função de distribuição F_{X} e uma transformação Y = h(X) cujas marginais são F_{X} e F_{Y}. Queremos encontrar a distribuição conjunta
F_{X,Y}(x,y)=P\bigl(X\le x,\;Y\le y\bigr)
nos dois casos em que h é monótona crescente ou monótona decrescente. Para isso, usaremos a inversibilidade de h (pois é estritamente monotônica) e as propriedades de F_{X}.

Passo 2

Suponha h monótona crescente. Então
\{X\le x,\;Y\le y\} =\{X\le x,\;h(X)\le y\} =\{X\le x,\;X\le h^{-1}(y)\} =\{X\le \min\{x,h^{-1}(y)\}\}.
Logo
F_{X,Y}(x,y) =F_{X}\bigl(\min\{x,h^{-1}(y)\}\bigr).
Por outro lado,
F_{Y}(y) =P\bigl(h(X)\le y\bigr) =P\bigl(X\le h^{-1}(y)\bigr) =F_{X}\bigl(h^{-1}(y)\bigr).
Como F_{X} é não decrescente,
F_{X}\bigl(\min\{x,h^{-1}(y)\}\bigr) =\min\{\,F_{X}(x),\,F_{X}(h^{-1}(y))\} =\min\{F_{X}(x),F_{Y}(y)\}.

Passo 3

Suponha h monótona decrescente. Então
\{X\le x,\;Y\le y\} =\{X\le x,\;h(X)\le y\} =\{X\le x,\;X\ge h^{-1}(y)\} =\{\,h^{-1}(y)\le X\le x\}.
Logo
F_{X,Y}(x,y) =P\bigl(h^{-1}(y)\le X\le x\bigr) =\max\{\,F_{X}(x)-F_{X}(h^{-1}(y)),\,0\}.
Mas
F_{Y}(y) =P\bigl(h(X)\le y\bigr) =P\bigl(X\ge h^{-1}(y)\bigr) =1 - P\bigl(X< h^{-1}(y)\bigr) =1 - F_{X}\bigl(h^{-1}(y)\bigr).
Substituindo,
F_{X}(x)-F_{X}(h^{-1}(y)) =F_{X}(x)+F_{Y}(y)-1,
e garantindo não negatividade, obtemos
F_{X,Y}(x,y) =\max\{\,F_{X}(x)+F_{Y}(y)-1,\,0\}.

Resposta

a. F_{X,Y}(x,y)=\min\{F_{X}(x),\,F_{Y}(y)\},
se h é monótona crescente.
b. F_{X,Y}(x,y)=\max\{F_{X}(x)+F_{Y}(y)-1,\;0\},
se h é monótona decrescente.

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