Seja \left\{X_{n}: n \geq 1\right\} uma seqüência de variáveis aleatórias tal que, para \alpha \in \mathbb{R}, temos E\left(X_{n}\right) \rightarrow \alpha e E\left(X_{n}^{2}\right) \rightarrow \alpha^{2}, quando n \rightarrow \infty. Você acha que vale: P\left(\lim _{n \rightarrow \infty} X_{n}=k\right)=1, sendo k uma constante finita?

Passo 1

O enunciado nos dá uma sequência de variáveis aleatórias \{X_{n}\} tal que
E\bigl(X_{n}\bigr)\to\alpha, \quad E\bigl(X_{n}^{2}\bigr)\to\alpha^{2} \quad(n\to\infty),
e pergunta se isso implica
P\bigl(\lim_{n\to\infty}X_{n}=k\bigr)=1
para alguma constante k. O conteúdo aqui envolve convergência em média quadrática (L ^2), convergência em probabilidade e quase-certa.

Passo 2

Calculemos o erro quadrático médio em torno de \alpha:
E\bigl[(X_{n}-\alpha)^{2}\bigr] =E\bigl(X_{n}^{2}\bigr)-2\,\alpha\,E\bigl(X_{n}\bigr)+\alpha^{2} \to\alpha^{2}-2\alpha^{2}+\alpha^{2}=0.
Logo
E\bigl[(X_{n}-\alpha)^{2}\bigr]\to0,
ou seja, X_{n}\to\alpha em L ^2 (convergência em média quadrática).

Passo 3

Sabe-se que convergência em L ^2 implica convergência em probabilidade. Assim, para todo \varepsilon>0,
P\bigl(|X_{n}-\alpha|>\varepsilon\bigr)\;\longrightarrow\;0 \quad(n\to\infty).
Em outras palavras, X_{n}\to\alpha em probabilidade.

Passo 4

Porém, convergência em probabilidade não é suficiente para garantir convergência quase-certa (ou quase-sempre). Em geral não se pode concluir
P\bigl(\lim_{n\to\infty}X_{n}=\alpha\bigr)=1
apenas a partir de E[(X_{n}-\alpha)^{2}]\to0.

Passo 5

Para ver um contra-exemplo, suponha \varepsilon>0\) fixo e defina variáveis independentes \[X_{n}= \begin{cases} \alpha+\varepsilon,&\text{com probabilidade }p_{n}=\dfrac{1}{n\ln(n)},\\[6pt] \alpha,&\text{com probabilidade }1-p_{n}. \end{cases}
Então
E(X_{n})=\alpha+\varepsilon\,p_{n}\to\alpha, \qquad E\bigl[(X_{n}-\alpha)^{2}\bigr]=\varepsilon^{2}p_{n}\to0,
logo satisfaz as hipóteses. Contudo
\sum_{n=2}^{\infty}P\bigl(X_{n}\neq\alpha\bigr) =\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln(n)}=\infty
e, pelas condições de independência e o segundo lema de Borel– Cantelli, temos que (X_{n}\neq\alpha] ocorre infinitas vezes quase-sempre. Assim
P\bigl(\lim_{n\to\infty}X_{n}=\alpha\bigr)=0,
isto é, não há convergência quase-certa.]

Resposta

Não. Só se obtém X_{n}\to\alpha em probabilidade, não em probabilidade quase-certa; logo em geral
P\bigl(\lim_{n\to\infty}X_{n}=k\bigr)\neq1.

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