Seja
uma seqüência de variáveis aleatórias tal que, para
, temos
e
, quando
. Você acha que vale:
, sendo
uma constante finita?
Passo 1
O enunciado nos dá uma sequência de variáveis aleatórias
tal que
e pergunta se isso implica
para alguma constante
. O conteúdo aqui envolve convergência em média quadrática (L
), convergência em probabilidade e quase-certa.
Passo 2
Calculemos o erro quadrático médio em torno de
:
Logo
ou seja,
em L
(convergência em média quadrática).
Passo 3
Sabe-se que convergência em L
implica convergência em probabilidade. Assim, para todo
,
Em outras palavras,
em probabilidade.
Passo 4
Porém, convergência em probabilidade não é suficiente para garantir convergência quase-certa (ou quase-sempre). Em geral não se pode concluir
apenas a partir de
.
Passo 5
Para ver um contra-exemplo, suponha
Então
logo satisfaz as hipóteses. Contudo
e, pelas condições de independência e o segundo lema de Borel– Cantelli, temos que (X_{n}\neq\alpha] ocorre infinitas vezes quase-sempre. Assim
isto é, não há convergência quase-certa.]
isto é, não há convergência quase-certa.]
Resposta
Não. Só se obtém
em probabilidade, não em probabilidade quase-certa; logo em geral