Seja X uma variável aleatória, seguindo o modelo Logístico, com função densidade dada por f(x)=e^{-x} /\left(1+e^{-x}\right)^{2}, x \in \mathbb{R}.
a. Verifique se X é simétrica ao redor do zero.
b. Determine o valor esperado de X.
c. Calcule E\left(e^{X}\right).

Passo 1

O enunciado define X com densidade
f(x)=\frac{e^{-x}}{\bigl(1+e^{-x}\bigr)^{2}}, \quad x\in\mathbb{R},
que é o modelo logístico padrão. Precisamos:
– (a) mostrar que f é simétrica em torno de zero;
– (b) calcular \mathbb{E}[X];
– (c) calcular \mathbb{E}[e^{X}].

Passo 2

Para verificar a simetria, note que
f(x) =\frac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^{2}} \;=\; \frac{e^{-x}}{\bigl(e^{-x}(1+e^{x})\bigr)^{2}} =\frac{e^{-x}}{e^{-2x}(1+e^{x})^{2}} =\frac{e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}.
Logo
f(-x) =\frac{e^{-(-x)}}{\bigl(1+e^{-(-x)}\bigr)^{2}} =\frac{e^{x}}{(1+e^{x})^{2}} =f(x),
ou seja, f é par e X é simétrica em torno de zero.

Passo 3

Como X tem densidade par, a função x\mapsto x\,f(x) é ímpar. Portanto
\mathbb{E}[X] =\int_{-\infty}^{\infty}x\,f(x)\,dx =0.

Passo 4

Para \mathbb{E}[e^{X}] escrevemos
\mathbb{E}[e^{X}] =\int_{-\infty}^{\infty}e^{x}\,f(x)\,dx =\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{x}\,e^{-x}}{(1+e^{-x})^{2}}\,dx =\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\bigl(1+e^{-x}\bigr)^{2}}\,dx.
Uma forma de ver que esse integral diverge é usar que o MGF do logístico só existe para |t|<1, logo em t=1 não há momento finito. Se preferir, calcule a primitiva
\int\frac{dx}{(1+e^{-x})^{2}} =\ln\bigl(1+e^{x}\bigr)-\frac{e^{x}}{1+e^{x}}+C
e verifique que ao levar x\to+\infty ela cresce sem limite. Assim
\mathbb{E}[e^{X}]=\infty.

Resposta

a. X é simétrica em torno de zero.
b. \mathbb{E}[X]=0.
c. \mathbb{E}[e^{X}]=\infty.

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