Seja
uma variável aleatória, seguindo o modelo Logístico, com função densidade dada por
.
a. Verifique se
é simétrica ao redor do zero.
b. Determine o valor esperado de
.
c. Calcule
.
a. Verifique se
b. Determine o valor esperado de
c. Calcule
Passo 1
O enunciado define
com densidade
que é o modelo logístico padrão. Precisamos:
– (a) mostrar que é simétrica em torno de zero;
– (b) calcular ;
– (c) calcular .
– (a) mostrar que
– (b) calcular
– (c) calcular
Passo 2
Para verificar a simetria, note que
Logo
ou seja,
é par e
é simétrica em torno de zero.
Passo 3
Como
tem densidade par, a função
é ímpar. Portanto
Passo 4
Para
escrevemos
Uma forma de ver que esse integral diverge é usar que o MGF do logístico só existe para
, logo em
não há momento finito. Se preferir, calcule a primitiva
e verifique que ao levar
ela cresce sem limite. Assim
Resposta
a.
é simétrica em torno de zero.
b. .
c. .
b.
c.