Seja X uma variável aleatória tal que E(X)=\alpha e E\left(X^{2}\right)=\alpha^{2}, para \alpha \in \mathbb{R}. Mostre que X assume um único valor com probabilidade 1 .

Passo 1

O enunciado diz que X é uma variável aleatória real com
E(X)=\alpha
e
E\bigl(X^2\bigr)=\alpha^2,
para certo \alpha\in\mathbb{R}. O conteúdo é cálculo de variância e a propriedade de que, se uma variável não negativa tem valor esperado zero, então ela é zero quase certamente.

Passo 2

Usamos a definição de variância:
\mathrm{Var}(X)=E\bigl((X - E(X))^2\bigr) =E\bigl((X - \alpha)^2\bigr) =E(X^2)-\bigl(E(X)\bigr)^2.
Substituindo os dados do enunciado:
\mathrm{Var}(X)=\alpha^2-\alpha^2=0.

Passo 3

Note que (X-\alpha)^2\ge0 sempre. Como E\bigl((X-\alpha)^2\bigr)=0, pela propriedade de que uma r.v. não negativa com esperança zero é zero quase certamente, temos
P\bigl((X-\alpha)^2=0\bigr)=1.
A única solução de (X-\alpha)^2=0 é X=\alpha. Logo,
P(X=\alpha)=1.

Resposta

P(X=\alpha)=1.

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