Seja
uma variável aleatória tal que
e
, para
. Mostre que
assume um único valor com probabilidade 1 .
Passo 1
O enunciado diz que
é uma variável aleatória real com
e
para certo
. O conteúdo é cálculo de variância e a propriedade de que, se uma variável não negativa tem valor esperado zero, então ela é zero quase certamente.
Passo 2
Usamos a definição de variância:
Substituindo os dados do enunciado:
Passo 3
Note que
sempre. Como
, pela propriedade de que uma r.v. não negativa com esperança zero é zero quase certamente, temos
A única solução de
é
. Logo,