Suponha que as variáveis
com
e
com
tenham variância finita. Mostre que para
e
constantes reais
, temos:
Deduza a expressão de
, tendo
e
variâncias finitas.
Passo 1
O enunciado trabalha com variáveis aleatórias
(
) e
(
) de variância finita e pede para mostrar que, para constantes reais
,
O conteúdo usado será a definição de covariância e suas propriedades de linearidade e invariância por adição de constantes.
Passo 2
Lembremos que, para quaisquer variáveis
com variância finita e constantes
,
pois constantes não afetam o desvio em torno da esperança. Assim podemos descartar imediatamente todos os termos constantes
e
:
Passo 3
Usando a bilinearidade da covariância, temos
já que em cada termo a covariância extrai os fatores constantes
e
.
Passo 4
Para deduzir
, note que
Basta aplicar o resultado do Passo 3 com
,
,
,
,
. Assim
Passo 5
Calculando cada termo:
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