Suponha que as variáveis X_{i} com i=1,2, \cdots, m e Y_{j} com j=1,2, \cdots, n tenham variância finita. Mostre que para a_{i}, b_{i}, c_{j} e d_{j} constantes reais \forall i, j, temos:
\operatorname{Cov}\left(\sum_{i=1}^{m}\left(a_{i} X_{i}+b_{i}\right), \sum_{j=1}^{n}\left(c_{j} Y_{j}+d_{j}\right)=\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} a_{i} c_{j} \operatorname{Cov}\left(X_{i}, Y_{j}\right)\right.
Deduza a expressão de \operatorname{Var}(X-Y), tendo X e Y variâncias finitas.

Passo 1

O enunciado trabalha com variáveis aleatórias X_i ( i=1,\dots,m) e Y_j ( j=1,\dots,n) de variância finita e pede para mostrar que, para constantes reais a_i,b_i,c_j,d_j,
\Cov\!\Bigl(\sum_{i=1}^m (a_iX_i+b_i),\,\sum_{j=1}^n (c_jY_j+d_j)\Bigr) =\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n a_i\,c_j\,\Cov(X_i,Y_j).
O conteúdo usado será a definição de covariância e suas propriedades de linearidade e invariância por adição de constantes.

Passo 2

Lembremos que, para quaisquer variáveis U,V com variância finita e constantes r,s,
\Cov(U+r,\;V+s)=\Cov(U,V),
pois constantes não afetam o desvio em torno da esperança. Assim podemos descartar imediatamente todos os termos constantes b_i e d_j:
\Cov\!\Bigl(\sum_{i}(a_iX_i+b_i),\,\sum_{j}(c_jY_j+d_j)\Bigr) =\Cov\!\Bigl(\sum_{i}a_iX_i,\;\sum_{j}c_jY_j\Bigr).

Passo 3

Usando a bilinearidade da covariância, temos
\Cov\!\Bigl(\sum_{i}a_iX_i,\;\sum_{j}c_jY_j\Bigr) =\sum_{i}\sum_{j}a_i\,c_j\,\Cov(X_i,Y_j),
já que em cada termo a covariância extrai os fatores constantes a_i e c_j.

Passo 4

Para deduzir \Var(X-Y), note que
\Var(X-Y)=\Cov(X-Y,\;X-Y).
Basta aplicar o resultado do Passo 3 com m=n=1, a_1=1, b_1=0, c_1=-1, d_1=0. Assim
\Cov(X-Y,\;X-Y) =\Cov(1\cdot X,\;1\cdot X) +2\,\Cov(1\cdot X,\;-1\cdot Y) +\Cov(-1\cdot Y,\;-1\cdot Y).

Passo 5

Calculando cada termo:
\Cov(X,X)=\Var(X), \quad \Cov(X,-Y)=-\Cov(X,Y), \quad \Cov(-Y,-Y)=\Var(Y).
Logo,
\Var(X-Y) =\Var(X) +2\bigl(-\Cov(X,Y)\bigr) +\Var(Y) =\Var(X)+\Var(Y)-2\,\Cov(X,Y).

Resposta

\Cov\!\Bigl(\sum_{i=1}^m(a_iX_i+b_i),\;\sum_{j=1}^n(c_jY_j+d_j)\Bigr) =\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n a_i\,c_j\,\Cov(X_i,Y_j),
\Var(X-Y)=\Var(X)+\Var(Y)-2\,\Cov(X,Y).

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