Sejam
e
independentes, cada uma com distribuição
. Qual a distribuição condicional de
dada
? (Sugestâo. Exemplo 10 e o princípio da substituição.) Determine
.
Passo 1
O enunciado diz que
e
são independentes, cada um com distribuição normal
, e pede a distribuição condicional de
dado
e, em seguida,
.
O conteúdo envolve mudança para coordenadas polares e uso do princípio da substituição para variáveis contínuas.
O conteúdo envolve mudança para coordenadas polares e uso do princípio da substituição para variáveis contínuas.
Passo 2
Fazemos a mudança para coordenadas polares no plano
:
onde
Sabe-se que, para o par gaussiano isotrópico,
e
são independentes e
Logo, a densidade condicional de
dado
é
Passo 3
Para
, a variável condicional
é
com
uniforme em
. A lei de
quando
é uniforme dá a densidade
Fazendo
e aplicando mudança de variável
, obtemos para
:
Passo 4
Para concluir, basta calcular a esperança condicional:
Mas pela simetria de
serem iguais para
e
, esse integral é zero. Alternativamente,
Resposta
A distribuição condicional de
dado
tem densidade
e