Sejam X e Y independentes, cada uma com distribuição N(0, sigma^2). Qual a distribuição condicional de X dada raizX^2+Y^2 ? (Sugestâo. Exemplo 10 e o princípio da substituição.) Determine E(X mid raizX^2+Y^2).

Passo 1

O enunciado diz que X e Y são independentes, cada um com distribuição normal N(0,sigma^2), e pede a distribuição condicional de X dado
R = raizX^2 + Y^2
e, em seguida, El(X mid Rr).
O conteúdo envolve mudança para coordenadas polares e uso do princípio da substituição para variáveis contínuas.

Passo 2

Fazemos a mudança para coordenadas polares no plano (X,Y):
X = RcosTheta, Y = RsinTheta,
onde
R>= 0, Thetain[0,2pi)
Sabe-se que, para o par gaussiano isotrópico, R e Theta são independentes e
Theta sim Uniform(0,2pi)
Logo, a densidade condicional de Theta dado R=r é
fThetamid R(theta mid r) = 12pi, 0<=theta<2pi

Passo 3

Para r>0, a variável condicional Xmid(R=r) é
X = rcosTheta
com Theta uniforme em [0,2pi). A lei de U = cosTheta quando Theta é uniforme dá a densidade
fU(u) = 1piraiz1-u^2, -1<u<1
Fazendo X = r,U e aplicando mudança de variável u = x/r, obtemos para -r<x<r:
fXmid R(xmid r) = fUl(x/rr),1r = 1piraiz1-(x/r)^2;1r = 1piraizr^2 - x^2

Passo 4

Para concluir, basta calcular a esperança condicional:
El(X mid R=rr) = integral-r^r x,fXmid R(xmid r),dx
Mas pela simetria de fXmid R(xmid r) serem iguais para x e -x, esse integral é zero. Alternativamente,
El(X mid R=rr) = r,El(cosThetar) = rcdot 0 = 0

Resposta

A distribuição condicional de X dado R=r tem densidade
fXmid R(xmid r) = 1piraizr^2 - x^2, -r<x<r,
e
El(X mid Rr) = 0

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