Sejam variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuidas, com distribuição contínua . Seja .
(a) Mostre que para todo ,
(Sugestäo. x^n-y^n=(x-y)(x^n-1+x^n-2 y+ldots+x y^n-2+y^n-1))
(b) Suponha F diferenciável. Existe densidade condicional no item (a)?
Passo 1
O enunciado considera X1,dots,Xn iid com função de distribuição contínua F. Definimos X=max1<= i<= nXi e queremos achar, para um índice fixo k, a função
x;mapsto;Pl(Xk<= xmid X=tr)
Como F é contínua, usamos derivação para obter densidades conjuntas e condicionais.
Passo 2
Para x<t,
Pl(Xk<= x,;X<= tr) = Pl(Xk<= xr);Pl(Xi<= t para ineq kr) = F(x),F(t)^,n-1
Para x>= t, como X<= t implica Xk<= x,
Pl(Xk<= x,;X<= tr) =Pl(X<= tr) =F(t)^,n
Passo 3
Diferenciando em t obtemos a densidade conjunta fXk,X(x,t)=partialtP(Xk<= x,X<= t):
para x<t,
ou seja, a lei condicional de Xkmid X=t tem parte contínua em (-infty,t) e átomo de massa 1/n em t.
Resposta
(a) Para todo
(b) Como há massa atômica de , a distribuição condicional não é puramente absolutamente contínua, ou seja, não existe uma única densidade em toda . Existe densidade para e um átomo em .
Probabilidade e Estatística - Barry R. James - Probabilidade: Um Curso de Nível Intermediário - 1ª Edição - Capítulo 4.4.5 - Ex. 25