Sejam X1, ldots, Xn variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuidas, com distribuição contínua F. Seja X=max 1 <= i <= n Xi.
(a) Mostre que para todo k=1,2, ldots, n,
P(Xk <= x mid X=t)=cl (n-1) F(x)n F(t) & , se x<t 1 & , se x >= t
(Sugestäo. x^n-y^n=(x-y)(x^n-1+x^n-2 y+ldots+x y^n-2+y^n-1))
(b) Suponha F diferenciável. Existe densidade condicional no item (a)?

Passo 1

O enunciado considera X1,dots,Xn iid com função de distribuição contínua F. Definimos X=max1<= i<= nXi e queremos achar, para um índice fixo k, a função
x;mapsto;Pl(Xk<= xmid X=tr)
Como F é contínua, usamos derivação para obter densidades conjuntas e condicionais.

Passo 2

Para x<t,
Pl(Xk<= x,;X<= tr) = Pl(Xk<= xr);Pl(Xi<= t para ineq kr) = F(x),F(t)^,n-1
Para x>= t, como X<= t implica Xk<= x,
Pl(Xk<= x,;X<= tr) =Pl(X<= tr) =F(t)^,n

Passo 3

Diferenciando em t obtemos a densidade conjunta fXk,X(x,t)=partialtP(Xk<= x,X<= t):
para x<t,
fXk,X(x,t) =partialpartial tl[F(x),F(t)^,n-1r] =F(x),(n-1),F(t)^,n-2,f(t),
e a densidade marginal de X é
fX(t) =partialpartial tF(t)^,n =n,F(t)^,n-1,f(t)

Passo 4

A densidade condicional é
fXkmid X(xmid t) =fXk,X(x,t)fX(t) =F(x),(n-1),F(t)^,n-2,f(t)n,F(t)^,n-1,f(t) =n-1n,F(x)F(t), x<t

Passo 5

Integrando essa densidade sobre (-infty,x] para x<t
Pl(Xk<= xmid X=tr) =integral-infty^xfXkmid X(umid t),du =n-1n,F(x)F(t), x<t
Para x>= t temos trivialmente P(Xk<= xmid X=t)=1.

Passo 6

Note que em x=t há um salto
Pl(Xk=tmid X=tr) =1-limxto t^-Pl(Xk<= xmid X=tr) =1-n-1n =1n,
ou seja, a lei condicional de Xkmid X=t tem parte contínua em (-infty,t) e átomo de massa 1/n em t.

Resposta

(a) Para todo
(b) Como há massa atômica de , a distribuição condicional não é puramente absolutamente contínua, ou seja, não existe uma única densidade em toda . Existe densidade para e um átomo em .

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