Seleciona-se ao acaso (i.e., conforme a distribuição uniforme) um número entre 0 e 1 . Se x é o número selecionado, lança-se n vezes (independentemente) uma moeda com probabilidade x de dar “cara”. Seja Y a variável aleatória que representa o número de caras lançadas.
(a) Y é variável aleatória discreta ou continua?
(b) Calcule a esperança e a variância de Y.

Passo 1

O enunciado diz que escolhemos aleatoriamente um número em com distribuição uniforme e, condicionados a , lançamos vezes uma moeda que dá “cara” com probabilidade . Definimos como o número de caras obtidas nesses lançamentos.
Conteúdo: mistura de distribuições (Beta–Binomial). Vamos precisar das fórmulas
e das decomposições

Passo 2

Para cada valor fixo X=x, temos
Ymid X=xsim Binomiall(n,xr),
logo Y toma valores em 0,1,2,dots,n. Portanto Y é uma variável aleatória discreta.

Passo 3

Cálculo da esperança de Y:
El(Ymid Xr)=nX,
então, usando E(X)=tfrac12,
E(Y) =El[E(Ymid X)r] =El(nXr) =n,E(X) =ncdottfrac12 =n2

Passo 4

Cálculo da variância de :
Pela fórmula da variância em mistura,
Primeiro termo:
Segundo termo: como e ,
Somando,

Resposta

(a) é uma variável aleatória discreta.
(b)

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