Seleciona-se ao acaso (i.e., conforme a distribuição uniforme) um número entre 0 e 1 . Se
é o número selecionado, lança-se
vezes (independentemente) uma moeda com probabilidade
de dar “cara”. Seja
a variável aleatória que representa o número de caras lançadas.
(a)
é variável aleatória discreta ou continua?
(b) Calcule a esperança e a variância de
.
(a)
(b) Calcule a esperança e a variância de
Passo 1
O enunciado diz que escolhemos aleatoriamente um número
em
com distribuição uniforme e, condicionados a
, lançamos
vezes uma moeda que dá “cara” com probabilidade
. Definimos
como o número de caras obtidas nesses
lançamentos.
Conteúdo: mistura de distribuições (Beta–Binomial). Vamos precisar das fórmulas
Conteúdo: mistura de distribuições (Beta–Binomial). Vamos precisar das fórmulas
e das decomposições
Passo 2
Para cada valor fixo
, temos
logo
toma valores em
. Portanto
é uma variável aleatória discreta.
Passo 3
Cálculo da esperança de
:
então, usando
,
Passo 4
Cálculo da variância de
:
Pela fórmula da variância em mistura,
Primeiro termo:
Segundo termo: como
e
,
Somando,
Resposta
(a)
é uma variável aleatória discreta.
(b)