Sejam X e Y independentes tais que X sim b(m, p) e Y sim b(n, p). Obtenha a distribuição condicional de X dada X+Y. Como se chama essa distribuição?

Passo 1

O enunciado diz que temos Xsim b(m,p) e Ysim b(n,p) independentes, e pede a distribuição de X dado X+Y=t. Vamos usar a definição de probabilidade condicional
P(X=kmid X+Y=t)=P(X=k,;Y=t-k)P(X+Y=t)
e as fórmulas de massa de probabilidade da binomial para encontrar essa distribuição.

Passo 2

Primeiro calculamos a probabilidade conjunta de X=k e Y=t-k. Como são independentes e cada uma é binomial,
P(X=k,;Y=t-k) =binommkp^k(1-p)^m-k;times;binomnt-kp^,t-k(1-p)^,n-(t-k)

Passo 3

Agora obtemos a probabilidade marginal de X+Y=t. Sabemos que a soma de duas binomiais independentes com mesmo p é binomial de parâmetros (m+n,p), logo
P(X+Y=t) =binomm+ntp^t(1-p)^,m+n-t

Passo 4

Aplicando a definição de probabilidade condicional e cancelando os fatores p^t(1-p)^m+n-t, vem
P(X=kmid X+Y=t) =binommk,binomnt-kbinomm+nt, k=0,1,dots,t

Passo 5

A fórmula
P(X=kmid X+Y=t) =binommk,binomnt-kbinomm+nt
é justamente a distribuição hipergeométrica com parâmetros “população” N=m+n, “sucessos” na população M=m e “amostras” t.

Resposta

A distribuição condicional é
Xmid (X+Y=t)sim Hyper>=ometricl(N=m+n,;M=m,;tr),
isto é,
P(X=kmid X+Y=t) =binommk,binomnt-kbinomm+nt

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