Sejam
e
independentes tais que
e
. Obtenha a distribuição condicional de
dada
. Como se chama essa distribuição?
Passo 1
O enunciado diz que temos
e
independentes, e pede a distribuição de
dado
. Vamos usar a definição de probabilidade condicional
e as fórmulas de massa de probabilidade da binomial para encontrar essa distribuição.
Passo 2
Primeiro calculamos a probabilidade conjunta de
e
. Como são independentes e cada uma é binomial,
Passo 3
Agora obtemos a probabilidade marginal de
. Sabemos que a soma de duas binomiais independentes com mesmo
é binomial de parâmetros
, logo
Passo 4
Aplicando a definição de probabilidade condicional e cancelando os fatores
, vem
Passo 5
A fórmula
é justamente a distribuição hipergeométrica com parâmetros “população”
, “sucessos” na população
e “amostras”
.
Resposta
A distribuição condicional é
isto é,