Sejam X e Y independentes, sendo X \sim \operatorname{Gama}(\alpha, \beta) e Y \sim \operatorname{Beta}(\gamma, \beta-\gamma), para \beta e \gamma inteiros não negativos e \gamma \leq \beta. Mostre, usando funções características, que Z=X Y tem distribuição \operatorname{Gama}(\alpha, \gamma).

Passo 1

O enunciado nos dá duas variáveis independentes X e Y com
X\sim \mathrm{Gama}(\alpha+\beta,\lambda),
Y\sim \mathrm{Beta}(\alpha,\beta),
onde \alpha,\beta são inteiros positivos e \lambda>0. Queremos mostrar que
Z = X\,Y
tem distribuição \mathrm{Gama}(\alpha,\lambda). Para isso, vamos usar funções características e uma identidade de integral de Euler que leva a uma função hipergeométrica de Gauss.

Passo 2

Escrevemos a função característica de X. Como X\sim \mathrm{Gama}(\alpha+\beta,\lambda) (parâmetro forma k=\alpha+\beta, escala \theta=1/\lambda), temos
\varphi_X(t) = \mathbb{E}\bigl[e^{i t X}\bigr] = \bigl(1 - \tfrac{i t}{\lambda}\bigr)^{-(\alpha+\beta)}.

Passo 3

Usamos independência e condicionamento em Y para obter a característica de Z:
\varphi_Z(t) = \mathbb{E}\bigl[e^{i t\,X Y}\bigr] = \mathbb{E}\bigl[\mathbb{E}(e^{i t X Y}\mid Y)\bigr] = \mathbb{E}\Bigl[\bigl(1 - \tfrac{i t}{\lambda}Y\bigr)^{-(\alpha+\beta)}\Bigr].

Passo 4

Agora escrevemos essa esperança como integral usando a densidade de Beta:
\varphi_Z(t) = \int_{0}^{1} \bigl(1 - \tfrac{i t}{\lambda}y\bigr)^{-(\alpha+\beta)} \frac{y^{\alpha-1}\,(1-y)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)} \,dy.
Reconhecemos a forma da integral de Euler para a função hipergeométrica de Gauss:
\int_{0}^{1} y^{b-1}(1-y)^{c-b-1}(1 - z\,y)^{-a} \,dy = B(b,c-b)\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;z).

Passo 5

No nosso caso, identificamos
a = \alpha+\beta,\quad b = \alpha,\quad c = \alpha+\beta,\quad z = \tfrac{i t}{\lambda}.
Logo
\varphi_Z(t) = {}_{2}F_{1}\bigl(\alpha+\beta,\;\alpha;\;\alpha+\beta;\;\tfrac{i t}{\lambda}\bigr).
Mas existe a identidade de Gauss para c=a:
{}_{2}F_{1}(a,b;a;z) = (1 - z)^{-b}.
Aplicando-a,
\varphi_Z(t) = \bigl(1 - \tfrac{i t}{\lambda}\bigr)^{-\alpha}.

Passo 6

Como \varphi_Z(t)=(1 - i t/\lambda)^{-\alpha} é exatamente a função característica de \mathrm{Gama}(\alpha,\lambda), concluímos que
Z = X\,Y \sim \mathrm{Gama}(\alpha,\lambda).

Resposta

Mostramos que \varphi_Z(t)=(1 - i t/\lambda)^{-\alpha}, portanto Z\sim \mathrm{Gama}(\alpha,\lambda).

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