Sejam
e
independentes, sendo
e
, para
e
inteiros não negativos e
. Mostre, usando funções características, que
tem distribuição
.
Passo 1
O enunciado nos dá duas variáveis independentes
e
com
onde
são inteiros positivos e
. Queremos mostrar que
tem distribuição
. Para isso, vamos usar funções características e uma identidade de integral de Euler que leva a uma função hipergeométrica de Gauss.
Passo 2
Escrevemos a função característica de
. Como
(parâmetro forma
, escala
), temos
Passo 3
Usamos independência e condicionamento em
para obter a característica de
:
Passo 4
Agora escrevemos essa esperança como integral usando a densidade de Beta:
Reconhecemos a forma da integral de Euler para a função hipergeométrica de Gauss:
Passo 5
No nosso caso, identificamos
Logo
Mas existe a identidade de Gauss para
:
Aplicando-a,
Passo 6
Como
é exatamente a função característica de
, concluímos que
Resposta
Mostramos que
, portanto
.