Sejam
eventos aleatórios independentes, com
.
. Obtenta a probabilidade de ocorrência dos seguintes eventos, em termos das probabilidades
:
(a) A ocorrência de nenhum dos
.
(b) A ocorrência de pelo menos um dos
.
(c) A ocorrência de exatamente um dos
.
(d) A ocorrência de exatamente dois dos
.
(e) A ocorrência de todos os
.
(f) A ocorrência de, no máximo,
dos
.
(a) A ocorrência de nenhum dos
(b) A ocorrência de pelo menos um dos
(c) A ocorrência de exatamente um dos
(d) A ocorrência de exatamente dois dos
(e) A ocorrência de todos os
(f) A ocorrência de, no máximo,
Passo 1
Temos
eventos independentes
com
. Como são independentes, probabilidades de interseções viram produtos, e probabilidades de uniões disjuntas viram somas. Vamos aplicar essas regras para cada caso.
Passo 2
(a) Nenhum dos
ocorre.
Isto é . Pela independência,
Isto é
Passo 3
(b) Pelo menos um dos
ocorre.
Este evento é o complementar de “nenhum ocorre”, logo
Este evento é o complementar de “nenhum ocorre”, logo
Passo 4
(c) Exatamente um dos
ocorre.
Podemos escrever como união disjunta
. Então
Podemos escrever como união disjunta
Passo 5
(d) Exatamente dois dos
ocorrem.
Analogamente, somamos sobre todos os pares disjuntos :
Analogamente, somamos sobre todos os pares disjuntos
Passo 6
(e) Todos os
ocorrem.
Isso é , que pela independência vale
Isso é
Passo 7
(f) No máximo
dos
ocorrem.
“Máximo ” é o complementar de “todos ocorrem”, logo
“Máximo
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)