Sejam A1, ldots, An eventos aleatórios independentes, com pk=P(Ak). k=1, ldots, n. Obtenta a probabilidade de ocorrência dos seguintes eventos, em termos das probabilidades pk :
(a) A ocorrência de nenhum dos Ak.
(b) A ocorrência de pelo menos um dos Ak.
(c) A ocorrência de exatamente um dos Ak.
(d) A ocorrência de exatamente dois dos Ak.
(e) A ocorrência de todos os Ak.
(f) A ocorrência de, no máximo, n-1 dos Ak.

Passo 1

Temos n eventos independentes A1,dots,An com P(Ak)=pk. Como são independentes, probabilidades de interseções viram produtos, e probabilidades de uniões disjuntas viram somas. Vamos aplicar essas regras para cada caso.

Passo 2

(a) Nenhum dos Ak ocorre.
Isto é Pl(capk=1^nAk^cr). Pela independência,
Pl(capk=1^nAk^cr) =prodk=1^nP(Ak^c) =prodk=1^n(1-pk)

Passo 3

(b) Pelo menos um dos Ak ocorre.
Este evento é o complementar de “nenhum ocorre”, logo
P(pelo menos um) =1 - Pl(capk=1^nAk^cr) =1 - prodk=1^n(1-pk)

Passo 4

(c) Exatamente um dos ocorre.
Podemos escrever como união disjunta
. Então

Passo 5

(d) Exatamente dois dos ocorrem.
Analogamente, somamos sobre todos os pares disjuntos :

Passo 6

(e) Todos os Ak ocorrem.
Isso é Pl(capk=1^nAkr), que pela independência vale
P(todos) =prodk=1^nP(Ak) =prodk=1^npk

Passo 7

(f) No máximo n-1 dos Ak ocorrem.
“Máximo n-1” é o complementar de “todos ocorrem”, logo
P(<= n-1) =1 - P(todos) =1 - prodk=1^npk

Resposta

(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)

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