Sejam X uma variável aleatória qualquer e g uma função não negativa tal que g(X) é variável aleatória e E(g(X))<\infty. Se g(x) \geq b>0 sempre que x \geq a, mostre que
P(X \geq a) \leq E[g(X)] / b

Passo 1

O enunciado diz que temos uma variável aleatória X qualquer e uma função não-negativa g tal que \mathbb{E}[g(X)]<\infty. Além disso, sempre que x\ge a vale g(x)\ge b>0. Queremos mostrar que
P(X\ge a)\;\le\;\frac{\mathbb{E}[g(X)]}{b}.
O conteúdo principal aqui é a desigualdade de Markov generalizada, que usa a função indicador e a monotonicidade da esperança.

Passo 2

Definimos a variável indicadora do evento \{X\ge a\}\) por \[I_{\{X\ge a\}}(x)= \begin{cases} 1,&x\ge a,\\\\ 0,&x<a. \end{cases}
Como g(x)\ge b\] sempre que \(x\ge a, e g(x)\ge0 caso x<a, concluímos que, para todo x,
g(x)\;\ge\;b\;I_{\{X\ge a\}}(x).

Passo 3

Como a desigualdade acima vale ponto a ponto, vale também em termos de variáveis aleatórias:
g(X)\;\ge\;b\,I_{\{X\ge a\}}.
Pela monotonicidade da esperança (se Y\ge Z então \mathbb{E}[Y]\ge\mathbb{E}[Z]) e pela linearidade, temos
\mathbb{E}[g(X)]\;\ge\;\mathbb{E}\bigl[b\,I_{\{X\ge a\}}\bigr] \;=\;b\,\mathbb{E}\bigl[I_{\{X\ge a\}}\bigr].

Passo 4

Lembrando que \mathbb{E}[I_{\{X\ge a\}}]=P(X\ge a), obtemos
\mathbb{E}[g(X)]\;\ge\;b\,P(X\ge a) \quad\Longrightarrow\quad P(X\ge a)\;\le\;\frac{\mathbb{E}[g(X)]}{b}.

Resposta

P(X\ge a)\;\le\;\frac{\mathbb{E}[g(X)]}{b}.

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