Sejam
uma variável aleatória qualquer e
uma função não negativa tal que
é variável aleatória e
. Se
sempre que
, mostre que
P(X \geq a) \leq E[g(X)] / b
P(X \geq a) \leq E[g(X)] / b
Passo 1
O enunciado diz que temos uma variável aleatória
qualquer e uma função não-negativa
tal que
. Além disso, sempre que
vale
. Queremos mostrar que
O conteúdo principal aqui é a desigualdade de Markov generalizada, que usa a função indicador e a monotonicidade da esperança.
Passo 2
Definimos a variável indicadora do evento
Como
, e
caso
, concluímos que, para todo
,
Passo 3
Como a desigualdade acima vale ponto a ponto, vale também em termos de variáveis aleatórias:
Pela monotonicidade da esperança (se
então
) e pela linearidade, temos
Passo 4
Lembrando que
, obtemos