Sendo X uma variável aleatória com média \mu, mostre que o erro quadrático médio, dado pela expressão E\left[(X-d)^{2}\right], é minimizado para d igual a \mu.

Passo 1

O enunciado diz que X é uma variável aleatória com média \mu e pede para mostrar que a quantidade
E\bigl[(X - d)^2\bigr]
é mínima quando d = \mu.
Conteúdo principal: usar propriedades da esperança, expandir o quadrado e minimizar uma função de d.

Passo 2

Expandimos o quadrado dentro da esperança e usamos linearidade de E:
E\bigl[(X - d)^2\bigr] = E\bigl[X^2 - 2dX + d^2\bigr] = E[X^2] - 2d\,E[X] + E[d^2].
Como d é constante (não depende de X), temos E[d^2]=d^2 e E[X]=\mu. Logo
E\bigl[(X - d)^2\bigr] = E[X^2] - 2d\,\mu + d^2.

Passo 3

Defina a função de d
g(d) = E\bigl[(X - d)^2\bigr] = d^2 - 2\mu\,d + E[X^2].
Para encontrar o mínimo, calculamos a derivada de g em relação a d e igualamos a zero:
g'(d) = 2d - 2\mu \quad\Longrightarrow\quad 2d - 2\mu = 0 \quad\Longrightarrow\quad d = \mu.

Passo 4

Verificamos que é, de fato, um mínimo observando a segunda derivada:
g''(d) = 2 > 0,
ou seja, a função é convexa e atinge mínimo em d=\mu.

Resposta

O erro quadrático médio E\bigl[(X-d)^2\bigr] é minimizado justamente para
d = \mu.

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