Sendo
uma variável aleatória com média
, mostre que o erro quadrático médio, dado pela expressão
, é minimizado para
igual a
.
Passo 1
O enunciado diz que
é uma variável aleatória com média
e pede para mostrar que a quantidade
é mínima quando
.
Conteúdo principal: usar propriedades da esperança, expandir o quadrado e minimizar uma função de .
Conteúdo principal: usar propriedades da esperança, expandir o quadrado e minimizar uma função de
Passo 2
Expandimos o quadrado dentro da esperança e usamos linearidade de
:
Como
é constante (não depende de
), temos
e
. Logo
Passo 3
Defina a função de
Para encontrar o mínimo, calculamos a derivada de
em relação a
e igualamos a zero:
Passo 4
Verificamos que é, de fato, um mínimo observando a segunda derivada:
ou seja, a função é convexa e atinge mínimo em
.
Resposta
O erro quadrático médio
é minimizado justamente para