A densidade conjunta de
e
é dada por
.
a. Obtenha a densidade de
e calcule seu valor esperado.
b. Determine
diretamente.
a. Obtenha a densidade de
b. Determine
Passo 1
O enunciado dá a densidade conjunta
e pede:
a) a densidade de e
;
b) calcular diretamente .
Para isso vamos precisar obter a marginal de , a condicional de
dado
, usar mudança de variável para
e depois aplicar esperança iterada.
a) a densidade de
b) calcular diretamente
Para isso vamos precisar obter a marginal de
Passo 2
Calculamos a marginal de
:
Passo 3
Obtemos a densidade condicional de
dado
:
Logo
.
Passo 4
Definimos
. Pela mudança de variável
com
e jacobiano
, obtemos
Integrando em
, a marginal de
é
Portanto
.
Passo 5
Como
,
Passo 6
Agora calculamos
por esperança iterada:
Sabendo que
, temos
Assim
Resposta
a)
em
e
.
b) Diretamente .
b) Diretamente