A densidade conjunta de X e Y é dada por f_{X, Y}(x, y)=e^{-x} I_{(0, \infty)}(x) I_{(0, x)}(y).
a. Obtenha a densidade de Y / X e calcule seu valor esperado.
b. Determine E(Y / X) diretamente.

Passo 1

O enunciado dá a densidade conjunta
f_{X,Y}(x,y)=e^{-x}I_{(0,\infty)}(x)\,I_{(0,x)}(y),
e pede:
a) a densidade de U=Y/X e \mathbb{E}(U);
b) calcular diretamente \mathbb{E}(Y/X).
Para isso vamos precisar obter a marginal de X, a condicional de Y dado X, usar mudança de variável para U e depois aplicar esperança iterada.

Passo 2

Calculamos a marginal de X:
f_X(x)=\int_{0}^{x}e^{-x}\,dy =x\,e^{-x}, \quad x>0.

Passo 3

Obtemos a densidade condicional de Y dado X=x:
f_{Y\mid X}(y\mid x) =\frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_X(x)} =\frac{e^{-x}}{x\,e^{-x}} =\frac{1}{x}, \quad 0<y<x.
Logo \,Y\mid X=x\sim\mathrm{Uniform}(0,x).

Passo 4

Definimos U=Y/X. Pela mudança de variável (x,y)\mapsto(x,u) com y=xu e jacobiano \lvert\partial(y)/\partial(u)\rvert=x, obtemos
f_{U,X}(u,x) =f_{X,Y}(x,xu)\,x =e^{-x}\,x, \quad x>0,\\\ 0<u<1.
Integrando em x, a marginal de U é
f_U(u) =\int_{0}^{\infty}x\,e^{-x}\,dx =1, \quad 0<u<1.
Portanto U\sim\mathrm{Uniform}(0,1).

Passo 5

Como U\sim\mathrm{Uniform}(0,1),
\mathbb{E}(U) =\int_{0}^{1}u\,du =\tfrac12.

Passo 6

Agora calculamos \mathbb{E}(Y/X) por esperança iterada:
\mathbb{E}\bigl(Y/X\bigr) =\mathbb{E}\bigl(\mathbb{E}(Y/X\mid X)\bigr).
Sabendo que \mathbb{E}(Y\mid X=x)=x/2, temos
\mathbb{E}(Y/X\mid X=x) =\frac{\mathbb{E}(Y\mid X=x)}{x} =\frac{x/2}{x} =\tfrac12.
Assim
\mathbb{E}(Y/X) =\mathbb{E}(\tfrac12) =\tfrac12.

Resposta

a) f_{Y/X}(u)=1 em 0<u<1 e \mathbb{E}(Y/X)=\tfrac12.
b) Diretamente \mathbb{E}(Y/X)=\tfrac12.

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