Para a seleção brasileira de futebol foram convocados 22 jogadores, os quais jogam em todas as posições (na linha e no gol), exceto 2 deles, que só jogam no gol. De quantos modos se pode selecionar os 11 titulares?

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo
Temos um elenco de 22 jogadores, dos quais 2 só podem atuar como goleiro e 20 são versáteis (podem jogar em qualquer posição, inclusive no gol). Precisamos escolher 11 titulares, sendo exatamente 1 goleiro e 10 jogadores de linha. O que vamos usar é a contagem por casos em combinatória simples.

Passo 2

Caso 1: goleiro é um dos especialistas
Escolhemos o goleiro entre os 2 especialistas e os 10 jogadores de linha entre os 20 versáteis.
\underbrace{\binom{2}{1}}_{\text{goleiro}} \times \underbrace{\binom{20}{10}}_{\text{linha}} = 2 \times \binom{20}{10}.

Passo 3

Caso 2: goleiro é um versátil
Escolhemos o goleiro entre os 20 versáteis e os 10 jogadores de linha entre os 19 versáteis restantes (os 2 especialistas não podem jogar na linha).
\underbrace{\binom{20}{1}}_{\text{goleiro}} \times \underbrace{\binom{19}{10}}_{\text{linha}} = 20 \times \binom{19}{10}.

Passo 4

Total de formas de escalar
Somando os dois casos:
2 \binom{20}{10} \;+\; 20 \binom{19}{10}.
Sabendo que \binom{20}{10}=184756 e \binom{19}{10}=92378, temos
2 \times 184756 + 20 \times 92378 = 369512 + 1847560 = 2217072.

Resposta

2217072 modos distintos.

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