Determine o valor de n se:
4 A_{n}^{2}=A_{2 n}^{3};

Passo 1

O enunciado pede o valor inteiro de n tal que
4\,A_{n}^{2}=A_{2n}^{3},
onde o conteúdo é permutações. Vamos precisar da definição de
A_{r}^{k} = \frac{r!}{(r-k)!}.

Passo 2

Calcular A_{n}^{2}. Usando a fórmula,
A_{n}^{2}=\frac{n!}{(n-2)!}=n\,(n-1).

Passo 3

Calcular A_{2n}^{3}. Pela mesma fórmula,
A_{2n}^{3}=\frac{(2n)!}{(2n-3)!}=(2n)\,(2n-1)\,(2n-2).

Passo 4

Substituir esses resultados na equação dada:
4\,\bigl(n\,(n-1)\bigr)=(2n)\,(2n-1)\,(2n-2).

Passo 5

Simplificar o lado direito:
(2n-2)=2\,(n-1)\quad\Longrightarrow\quad (2n)(2n-1)(2n-2)=2n\,(2n-1)\,2\,(n-1)=4\,n\,(n-1)\,(2n-1).
Então a equação fica
4\,n\,(n-1)=4\,n\,(n-1)\,(2n-1).
Para n\ge2 temos n(n-1)\neq0, logo podemos dividir por 4\,n\,(n-1) e obter
1=2n-1 \quad\Longrightarrow\quad n=1.
Mas n=1 não pertence ao domínio natural onde A_{n}^{2} está definido (n\ge2).

Resposta

Não existe valor natural n (com n\ge2) que satisfaça a equação.

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