Sendo F(x, y) a distribuição conjunta de X e Y, defina Z=\max (X, Y) e W=\min (X, Y). Mostre que:
a. F_{Z}(z)=F(z, z), \forall z \in \mathbb{R}.
b. F_{W}(w)=F_{X}(w)+F_{Y}(w)-F(w, w), \forall w \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado nos dá a função de distribuição conjunta F(x,y)=P(X\le x,\,Y\le y) de duas variáveis aleatórias X e Y. Definimos
Z = \max(X,Y), \qquad W = \min(X,Y).
O que queremos é achar as funções de distribuição cumulativa de Z e de W, ou seja,
F_Z(z)=P(Z\le z) \quad\text{e}\quad F_W(w)=P(W\le w).

Passo 2

Para Z=\max(X,Y) temos
F_Z(z) = P(Z\le z) = P\bigl(\max(X,Y)\le z\bigr).
Mas \max(X,Y)\le z ocorre exatamente quando simultaneamente X\le z e Y\le z. Logo,
F_Z(z) = P(X\le z,\;Y\le z) = F(z,z).

Passo 3

Para W=\min(X,Y) começamos por
F_W(w) = P(W\le w) = P\bigl(\min(X,Y)\le w\bigr).
Note que o evento contrário é \{\min(X,Y)>w\}=\{X>w,\;Y>w\}. Assim,
F_W(w) = 1 - P(X>w,\;Y>w).
Agora usamos inclusão–exclusão na forma
P(X>w,\;Y>w) = 1 - P(X\le w\;\cup\;Y\le w) = 1 - \bigl[P(X\le w)+P(Y\le w)-P(X\le w,Y\le w)\bigr].
Como P(X\le w)=F_X(w), P(Y\le w)=F_Y(w) e P(X\le w,Y\le w)=F(w,w), concluímos
F_W(w) = 1 - \bigl[\,1 - F_X(w) - F_Y(w)+F(w,w)\bigr] = F_X(w) + F_Y(w) - F(w,w).

Resposta

(a) F_Z(z)=F(z,z).
(b) F_W(w)=F_X(w)+F_Y(w)-F(w,w).

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