Seja
.() a função de distribuição de alguma variável aleatória. Para as funções)
, definidas abaixo, avalie quais podem ser função de distribuição conjunta:
.
Passo 1
O enunciado diz que
é função de distribuição de uma v.a. unidimensional e define
Queremos verificar se
pode ser uma função de distribuição conjunta de duas v.a. (isto é, checar as propriedades de um CDF bivariado).
Passo 2
Propriedades de CDF bivariado essenciais:
- Continuidade à direita em cada variável e limites
- Marginais corretas:
- Monotonicidade e 2-incremento positivo: para
, ,
Passo 3
Verificando limites e marginais:
- Como
e , temos - Para a primeira marginal:
e de modo análogo . Logo as marginais conferem.
Passo 4
Verificando o 2-incremento. Defina
com
e
. Então
Basta observar que
é o copula de máxima dependência (Frechet–Hoeffding superior), o qual é conhecido por ser 2-incremento-positivo. Em todos os possíveis casos de ordem entre
e
, verifica-se
.
Passo 5
Como
satisfaz continuidade à direita, limites adequados, marginais
e 2-incremento-positivo, concluímos que