Seja F(.() a função de distribuição de alguma variável aleatória. Para as funções) G, definidas abaixo, avalie quais podem ser função de distribuição conjunta:
G(x, y)=\min (F(x), F(y)) ; x, y \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado diz que F é função de distribuição de uma v.a. unidimensional e define
G(x,y)=\min\bigl(F(x),\,F(y)\bigr),\quad x,y\in\mathbb{R}.
Queremos verificar se G pode ser uma função de distribuição conjunta de duas v.a. (isto é, checar as propriedades de um CDF bivariado).

Passo 2

Propriedades de CDF bivariado essenciais:
  1. Continuidade à direita em cada variável e limites \lim_{x\to-\infty}G(x,y)=0,\quad \lim_{y\to-\infty}G(x,y)=0, \quad \lim_{x,y\to+\infty}G(x,y)=1.
  2. Marginais corretas: G(x,+\infty)=F(x),\quad G(+\infty,y)=F(y).
  3. Monotonicidade e 2-incremento positivo: para x_1<x_2, y_1<y_2, \Delta = G(x_2,y_2)-G(x_1,y_2)-G(x_2,y_1)+G(x_1,y_1)\ge0.

Passo 3

Verificando limites e marginais:
  • Como \lim_{t\to-\infty}F(t)=0 e \lim_{t\to+\infty}F(t)=1, temos \lim_{x\to-\infty}G(x,y)=\min(0,F(y))=0,\quad \lim_{x,y\to+\infty}G(x,y)=\min(1,1)=1.
  • Para a primeira marginal: G(x,+\infty)=\min\bigl(F(x),1\bigr)=F(x),e de modo análogo G(+\infty,y)=F(y). Logo as marginais conferem.

Passo 4

Verificando o 2-incremento. Defina
u_i = F(x_i),\quad v_j = F(y_j),
com x_1<x_2\implies u_1\le u_2 e y_1<y_2\implies v_1\le v_2. Então
\Delta =\min(u_2,v_2)-\min(u_1,v_2)-\min(u_2,v_1)+\min(u_1,v_1).
Basta observar que (u,v)\mapsto\min(u,v) é o copula de máxima dependência (Frechet–Hoeffding superior), o qual é conhecido por ser 2-incremento-positivo. Em todos os possíveis casos de ordem entre u_i e v_j, verifica-se \Delta\ge0.

Passo 5

Como G satisfaz continuidade à direita, limites adequados, marginais F e 2-incremento-positivo, concluímos que

Resposta

G(x,y)=\min\bigl(F(x),F(y)\bigr) é de fato uma função de distribuição conjunta (bivariada).

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