Suponha que X e Y são variáveis aleatórias, independentes e identicamente distribuídas, com valores -1 e 1 com mesma probabilidade. Verifique se X e Z=X Y são independentes.

Passo 1

O enunciado diz que X e Y são independentes e idênticas, cada uma com
P(X=1)=P(X=-1)=\tfrac12 \quad\text{e}\quad P(Y=1)=P(Y=-1)=\tfrac12.
Definimos Z = X\,Y e queremos verificar se X e Z são independentes, isto é, se
P(X=x,Z=z)=P(X=x)\,P(Z=z)
para todo x,z\in\{-1,1\}.

Passo 2

Calculemos a probabilidade conjunta. Fixe x,z\in\{-1,1\}. Então
P(X=x,Z=z) = P\bigl(X=x,\;X\,Y=z\bigr).
Como X\neq0, a condição X\,Y=z equivale a Y = z/X. Mas 1/X = X quando X=\pm1, logo Y = z\,x. Assim,
P(X=x,Z=z) = P\bigl(X=x,\;Y=z\,x\bigr) = P(X=x)\,P\bigl(Y=z\,x\bigr) =\tfrac12\cdot\tfrac12 =\tfrac14,
usando a independência de X e Y.

Passo 3

Agora obtemos as marginais:
P(X=x)=\tfrac12,
e
P(Z=z) = P(X\,Y=z) = \sum_{x'=\pm1}P\bigl(X=x',Y=z\,x'\bigr) = \sum_{x'=\pm1}\tfrac12\cdot\tfrac12 =2\cdot\tfrac14 =\tfrac12.

Passo 4

Comparando, vemos que para todo x,z\in\{-1,1\}
P(X=x,Z=z)=\tfrac14 \quad\text{e}\quad P(X=x)\,P(Z=z)=\tfrac12\cdot\tfrac12=\tfrac14.
Como a igualde vale para todas as combinações de (x,z), concluímos que X e Z são independentes.

Resposta

X e Z são independentes.

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