Suponha que as variáveis aleatórias X, Y e Z tenham a seguinte distribuição de probabilidades conjuntas:
\boldsymbol{x} \boldsymbol{y} \boldsymbol{z} \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, \boldsymbol{z})
1 1 1 0,05
1 1 2 0,10
1 2 1 0,15
1 2 2 0,20
2 1 1 0,20
2 1 2 0,15
2 2 1 0,10
2 2 2 0,05
Determine o seguinte:
c. P(Z<1,5)

Passo 1

O enunciado nos dá a distribuição de probabilidade conjunta de três variáveis discretas X,Y,Z, cada uma assumindo valores em \{1,2\}. Queremos calcular
P(Z<1,5).
Como Z só pode valer 1 ou 2, condição Z<1,5 é equivalente a Z=1. Para resolver, vamos usar a regra de marginalização, somando todas as probabilidades conjuntas com Z=1.

Passo 2

Identificamos todas as células da tabela em que Z=1. São elas: (X=1,Y=1,Z=1), (1,2,1), (2,1,1) e (2,2,1).

Passo 3

Anotamos os valores de f(x,y,1) para cada combinação: f(1,1,1)=0{,}05, f(1,2,1)=0{,}15, f(2,1,1)=0{,}20, f(2,2,1)=0{,}10.

Passo 4

Somamos essas probabilidades para obter a marginal de Z em 1:
P(Z<1,5)=P(Z=1) =\sum_{x=1}^{2}\sum_{y=1}^{2}f(x,y,1) =0{,}05+0{,}15+0{,}20+0{,}10 =0{,}50.

Resposta

P(Z<1,5)=0{,}50.

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