Prove, usando um argumento combinatório, que os números abaixo são inteiros para qualquer n natural.
a) (2 n)!2^n;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, por argumento combinatório, que
(2n)!2^n
é um número inteiro para todo ninN.
O que vamos fazer é interpretar (2n)! como “o número de maneiras de colocar 2n objetos distintos em 2n posições numeradas” e depois agrupar essas colocações em pacotes de tamanho 2^n, de modo a concluir que (2n)! é múltiplo de 2^n.

Passo 2

Dividimos as 2n posições em n blocos, cada bloco contendo exatamente duas posições:
1,2,;3,4,;dots,;2n-1,2n
(2n)! maneiras de distribuir os objetos distintos nessas 2n posições.

Passo 3

Agora definimos uma relação de equivalência: duas distribuições são equivalentes se uma pode ser obtida da outra trocando, em cada bloco, as duas posições (isso dá 2 opções de permutações internas por bloco). Como temos n blocos e em cada um há exatamente 2 trocas possíveis, cada classe de equivalência contém exatamente 2^n distribuições distintas.

Passo 4

Tendo particionado o conjunto de todas as (2n)! distribuições em classes de tamanho 2^n, o número de classes é
(2n)!2^n,
que é, por definição, um inteiro.

Resposta

Portanto, (2n)!2^n é inteiro pois conta o número de maneiras de distribuir 2n objetos em n blocos de 2 posições, sem distinguir a ordem dentro de cada bloco.

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