Três jogadores A, B e C lançam, sucessivamente e nessa ordem, uma moeda com probabilidade de cara p_{A}, p_{B} e p_{C}, respectivamente. Vence o jogo aquele que obtiver a 1a. cara. Estabeleça as condições para haver igualdade de vitória entre os jogadores. Qual seria o valor máximo de p_{A} nesse caso?

Passo 1

O enunciado diz que três jogadores A, B e C jogam em rodada infinita, na ordem A\to B\to C, cada um lançando uma moeda com probabilidade de cara respectivamente p_{A}, p_{B} e p_{C}. Ganha quem obtiver a primeira cara. Queremos achar as condições para que
P(A)=P(B)=P\text{(C)}
e, sob essas condições, determinar o valor máximo de p_{A}. Para isso, vamos usar séries geométricas e equações de equilíbrio de probabilidades.

Passo 2

Calculemos P(A), P(B) e P\text{(C)}. Defina
q = (1-p_{A})(1-p_{B})(1-p_{C}),
que é a probabilidade de ninguém tirar cara em uma rodada completa. Então:
P(A) = p_{A} + q\,p_{A} + q^{2}p_{A} + \cdots = \frac{p_{A}}{1-q}.
De modo análogo, B só joga se A falhar, e C só joga se A e B falharem, logo
P(B) = (1-p_{A})\,p_{B} + q\,(1-p_{A})\,p_{B} + \cdots = \frac{(1-p_{A})\,p_{B}}{1-q},
P\text{(C)} = (1-p_{A})(1-p_{B})\,p_{C} + q\,(1-p_{A})(1-p_{B})\,p_{C} + \cdots = \frac{(1-p_{A})(1-p_{B})\,p_{C}}{1-q}.

Passo 3

Impondo P(A)=P(B) e P(B)=P\text{(C)}, e multiplicando as igualdades por 1-q (que é positivo se alguma probabilidade for não nula), obtemos
p_{A} = (1-p_{A})\,p_{B}, \qquad (1-p_{A})\,p_{B} = (1-p_{A})(1-p_{B})\,p_{C}.
Da primeira segue
p_{A} = p_{B} - p_{A}p_{B} \;\Longrightarrow\; p_{A}(1 + p_{B}) = p_{B} \;\Longrightarrow\; p_{A} = \frac{p_{B}}{1 + p_{B}}.
Da segunda, como 1-p_{A}>0, cancela-se esse fator e vem
p_{B} = (1-p_{B})\,p_{C} \;\Longrightarrow\; p_{B}(1 + p_{C}) = p_{C} \;\Longrightarrow\; p_{B} = \frac{p_{C}}{1 + p_{C}}.

Passo 4

Substituindo p_{B}=\tfrac{p_{C}}{1+p_{C}} em p_{A}=\tfrac{p_{B}}{1+p_{B}}, achamos
1 + p_{B} = 1 + \frac{p_{C}}{1+p_{C}} = \frac{1+2p_{C}}{1+p_{C}},
então
p_{A} = \frac{\dfrac{p_{C}}{1+p_{C}}}{\dfrac{1+2p_{C}}{1+p_{C}}} = \frac{p_{C}}{1+2p_{C}}.
Logo as condições de igualdade são
p_{B} = \frac{p_{C}}{1 + p_{C}}, \qquad p_{A} = \frac{p_{C}}{1 + 2p_{C}}.

Passo 5

Para achar o valor máximo de p_{A} sob essas condições, note que em 0 \le p_{C} \le 1
p_{A}(p_{C}) = \frac{p_{C}}{1 + 2p_{C}}
é crescente (basta verificar que a derivada é positiva). Logo o máximo ocorre em p_{C}=1, o que dá
p_{A,\max} = \frac{1}{1 + 2} = \frac{1}{3}.

Resposta

As condições de igualdade são
p_{B} = \frac{p_{C}}{1 + p_{C}}, \qquad p_{A} = \frac{p_{C}}{1 + 2p_{C}},
e o valor máximo de p_{A} sob essas condições é \tfrac{1}{3}.

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