Três jogadores
e
lançam, sucessivamente e nessa ordem, uma moeda com probabilidade de cara
e
, respectivamente. Vence o jogo aquele que obtiver a 1a. cara. Estabeleça as condições para haver igualdade de vitória entre os jogadores. Qual seria o valor máximo de
nesse caso?
Passo 1
O enunciado diz que três jogadores
,
e
jogam em rodada infinita, na ordem
, cada um lançando uma moeda com probabilidade de cara respectivamente
,
e
. Ganha quem obtiver a primeira cara. Queremos achar as condições para que
e, sob essas condições, determinar o valor máximo de
. Para isso, vamos usar séries geométricas e equações de equilíbrio de probabilidades.
Passo 2
Calculemos
,
e
. Defina
que é a probabilidade de ninguém tirar cara em uma rodada completa. Então:
De modo análogo,
só joga se
falhar, e
só joga se
e
falharem, logo
Passo 3
Impondo
e
, e multiplicando as igualdades por
(que é positivo se alguma probabilidade for não nula), obtemos
Da primeira segue
Da segunda, como
, cancela-se esse fator e vem
Passo 4
Substituindo
em
, achamos
então
Logo as condições de igualdade são
Passo 5
Para achar o valor máximo de
sob essas condições, note que em
é crescente (basta verificar que a derivada é positiva). Logo o máximo ocorre em
, o que dá
Resposta
As condições de igualdade são
e o valor máximo de
sob essas condições é
.