Seja
um espaço de probabilidade e para cada
defina a seguinte classe de subconjuntos:
e
ou
. Mostre que
é uma
-álgebra de conjuntos de
.
Passo 1
O enunciado define, num espaço de probabilidade
e para um conjunto fixo
, a classe
Queremos mostrar que
é uma
-álgebra, ou seja, que (i)
, (ii) é fechada por complemento, (iii) é fechada por união contável. Usaremos propriedades básicas de probabilidade: aditividade e monotonia.
Passo 2
Verificamos os conjuntos neutros.
. O vazio:
logo
.
. O todo:
logo
.
Passo 3
Fechamento por complemento. Seja
. Então
vale
ou
.
que é
se
, ou é
se
. Portanto
.
Passo 4
Fechamento por união contável. Seja
. Note que
Dois casos possíveis:
- Se existe
tal que , então e pela monotonia . Logo vale exatamente . - Se para todo
temos , então pela subaditividade Assim .
Em ambos os casos.
Passo 5
Como
contém
, e é fechada por complemento e por uniões contáveis, concluímos que
é de fato uma
-álgebra sobre
.