Seja (\Omega, \mathcal{F}, \mathcal{P}) um espaço de probabilidade e para cada B \in \mathcal{F} defina a seguinte classe de subconjuntos: \mathcal{F}_{B}=\{A: A \in \mathcal{F} e P(A \cap B)=0 ou P(A \cap B)=P(B)\}. Mostre que \mathcal{F}_{B} é uma \sigma-álgebra de conjuntos de \Omega.

Passo 1

O enunciado define, num espaço de probabilidade (\Omega,\mathcal{F},P) e para um conjunto fixo B\in\mathcal{F}, a classe
\mathcal{F}_B = \bigl\{A\in\mathcal{F}:P(A\cap B)\in\{0,P(B)\}\bigr\}.
Queremos mostrar que \mathcal{F}_B é uma \sigma-álgebra, ou seja, que (i) \Omega\in\mathcal{F}_B, (ii) é fechada por complemento, (iii) é fechada por união contável. Usaremos propriedades básicas de probabilidade: aditividade e monotonia.

Passo 2

Verificamos os conjuntos neutros.
1. O vazio:
P(\varnothing\cap B)=P(\varnothing)=0,
logo \varnothing\in\mathcal{F}_B.
2. O todo:
P(\Omega\cap B)=P(B),
logo \Omega\in\mathcal{F}_B.

Passo 3

Fechamento por complemento. Seja A\in\mathcal{F}_B. Então P(A\cap B) vale 0 ou P(B).
P(A^c\cap B) = P\bigl(B\setminus(A\cap B)\bigr) = P(B)-P(A\cap B),
que é P(B) se P(A\cap B)=0, ou é 0 se P(A\cap B)=P(B). Portanto A^c\in\mathcal{F}_B.

Passo 4

Fechamento por união contável. Seja (A_n)_{n\ge1}\subseteq\mathcal{F}_B. Note que
\bigcup_{n=1}^\infty A_n\;\cap\;B =\bigcup_{n=1}^\infty (A_n\cap B).
Dois casos possíveis:
  • Se existe k tal que P(A_k\cap B)=P(B), então P\Bigl(\bigcup_{n}A_n\cap B\Bigr) \ge P(A_k\cap B) =P(B),e pela monotonia P(\bigcup_nA_n\cap B)\le P(B). Logo vale exatamente P(B).
  • Se para todo n temos P(A_n\cap B)=0, então pela subaditividade P\Bigl(\bigcup_{n}A_n\cap B\Bigr) \le \sum_{n=1}^\infty P(A_n\cap B) =0.Assim P(\bigcup_nA_n\cap B)=0.
    Em ambos os casos \bigcup_{n}A_n\in\mathcal{F}_B.

Passo 5

Como \mathcal{F}_B contém \Omega, e é fechada por complemento e por uniões contáveis, concluímos que \mathcal{F}_B é de fato uma \sigma-álgebra sobre \Omega.

Resposta

\mathcal{F}_B é uma \sigma-álgebra de \Omega.

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