Três pontos
e
são escolhidos independentemente em uma circunferência. Determine a probabilidade do triângulo
ter todos os ângulos agudos.
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de um triângulo inscrito numa circunferência, obtido ao escolher três pontos
de forma independente e uniforme, ser acutângulo. O conteúdo usado é probabilidade geométrica sobre a distribuição uniforme de pontos num círculo e a relação entre ângulos centrais e tipos de triângulo.
Passo 2
Graças à simetria rotacional, podemos fixar
em um ponto de referência e descrever as posições de
e
pelos ângulos
e
, uniformes em
. Ordenando as três posições no sentido anti-horário, definimos os comprimentos de arco
de modo que
e
está uniformemente distribuído sobre o simplex
.
Passo 3
Um triângulo inscrito é acutângulo se, e somente se, todos os seus ângulos internos são menores que
. No círculo circunscrito, isso equivale a exigir que cada arco oposto a um vértice seja menor que
. Logo a condição é
Passo 4
A área total do simplex
é
Queremos a área do subconjunto definido por
. Pelo princípio da inclusão-exclusão, a área em que pelo menos um dos comprimentos
é
já que fixar
reduz a soma dos três a
, gerando um simplex de área
. As interseções de duas condições “
e
” têm medida zero neste simplex.
Passo 5
Portanto a área favorável (nenhum arco
) é
A probabilidade buscada é a razão entre essa área favorável e a área total: