Três pontos A, B e C são escolhidos independentemente em uma circunferência. Determine a probabilidade do triângulo A B C ter todos os ângulos agudos.

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de um triângulo inscrito numa circunferência, obtido ao escolher três pontos A,B,C de forma independente e uniforme, ser acutângulo. O conteúdo usado é probabilidade geométrica sobre a distribuição uniforme de pontos num círculo e a relação entre ângulos centrais e tipos de triângulo.

Passo 2

Graças à simetria rotacional, podemos fixar A em um ponto de referência e descrever as posições de B e C pelos ângulos \theta_B e \theta_C, uniformes em [0,2\pi). Ordenando as três posições no sentido anti-horário, definimos os comprimentos de arco
X = \theta_{(2)} - \theta_{(1)},\quad Y = \theta_{(3)} - \theta_{(2)},\quad Z = 2\pi - (\theta_{(3)} - \theta_{(1)}),
de modo que
X+Y+Z = 2\pi,
e (X,Y,Z) está uniformemente distribuído sobre o simplex \{X,Y,Z>0,\;X+Y+Z=2\pi\}.

Passo 3

Um triângulo inscrito é acutângulo se, e somente se, todos os seus ângulos internos são menores que 90^\circ. No círculo circunscrito, isso equivale a exigir que cada arco oposto a um vértice seja menor que \pi. Logo a condição é
X<\pi,\quad Y<\pi,\quad Z<\pi.

Passo 4

A área total do simplex X+Y+Z=2\pi é
\mathrm{Área}_{\mathrm{total}} = \frac{(2\pi)^2}{2}.Á
Queremos a área do subconjunto definido por X<\pi,\;Y<\pi,\;Z<\pi. Pelo princípio da inclusão-exclusão, a área em que pelo menos um dos comprimentos \ge\pi é
3 \times \Bigl(\text{área de }X\ge\pi\Bigr) =3\cdot\frac{\pi^2}{2},á
já que fixar X\ge\pi reduz a soma dos três a 2\pi-\pi=\pi, gerando um simplex de área \pi^2/2. As interseções de duas condições “ X\ge\pi e Y\ge\pi” têm medida zero neste simplex.

Passo 5

Portanto a área favorável (nenhum arco \ge\pi) é
\frac{(2\pi)^2}{2}\;-\;3\cdot\frac{\pi^2}{2} =\frac{4\pi^2-3\pi^2}{2} =\frac{\pi^2}{2}.
A probabilidade buscada é a razão entre essa área favorável e a área total:
\frac{\pi^2/2}{(2\pi)^2/2} =\frac{\pi^2}{4\pi^2} =\frac{1}{4}.

Resposta

\tfrac{1}{4}

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