Mostre que: P(A \cap B) \geq P(A)+P(B)-1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
P(A\cap B)\ge P(A)+P(B)-1.
O conteúdo é teoria de probabilidade, em particular a fórmula da união de dois eventos e o fato de que toda probabilidade não excede 1.

Passo 2

Para quaisquer eventos A e B vale a identidade
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B),
e sabemos também que
P(A\cup B)\le 1,
pois a probabilidade de qualquer evento não pode exceder 1.

Passo 3

Substituindo a identidade na desigualdade, obtemos
P(A)+P(B)-P(A\cap B)=P(A\cup B)\le 1.

Passo 4

Basta agora isolar P(A\cap B). Da desigualdade anterior segue
P(A)+P(B)-1\le P(A\cap B),
ou seja
P(A\cap B)\ge P(A)+P(B)-1.

Resposta

Demonstramos que \displaystyle P(A\cap B)\ge P(A)+P(B)-1.

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