Uma urna contém três bolas numeradas
e 1 . São feitas duas retiradas, ao acaso e com reposição, e definimos
como o produto dos números retirados e
como o maior número. Determine a correlação entre
e
.
Passo 1
Temos uma urna com bolas numeradas
e
. Fazemos duas retiradas com reposição, chamando de
a primeira e
a segunda. Definimos
Queremos a correlação
. Para isso vamos precisar da distribuição conjunta de
, das esperanças, da covariância e das variâncias.
Passo 2
Como os sorteios são independentes,
,
, e o mesmo para
. Enumerando os casos:
Assim só ocorrem
com prob.\
,
com prob.\
e
com prob.\
.]
Passo 3
Marginais de
e
:
Passo 4
Cálculo das esperanças:
Passo 5
Cálculo de
e de
:
Passo 6
Como
e
sempre, temos
Passo 7
Finalmente a correlação:
Resposta
A correlação entre
e
é
.