Uma urna contém três bolas numeradas -1,-1 e 1 . São feitas duas retiradas, ao acaso e com reposição, e definimos X como o produto dos números retirados e Y como o maior número. Determine a correlação entre X e Y.

Passo 1

Temos uma urna com bolas numeradas -1,-1 e 1. Fazemos duas retiradas com reposição, chamando de a a primeira e b a segunda. Definimos
X = a\cdot b,
Y = \max\{a,b\}.
Queremos a correlação \rho_{X,Y} = \frac{\Cov(X,Y)}{\sqrt{\Var(X)\,\Var(Y)}}. Para isso vamos precisar da distribuição conjunta de (X,Y), das esperanças, da covariância e das variâncias.

Passo 2

Como os sorteios são independentes, \Pr(a=-1)=\tfrac{2}{3}, \Pr(a=1)=\tfrac{1}{3}, e o mesmo para b. Enumerando os casos:
\begin{array}{ccc} (a,b) & (X,Y) & \Pr(a,b) \\[6pt] (-1,-1) & (1,\,-1) & \bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^2 = \tfrac{4}{9},\\[4pt] (-1,\,1) & (-1,\,1) & \tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{1}{3} = \tfrac{2}{9},\\[4pt] (1,\,-1) & (-1,\,1) & \tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{2}{3} = \tfrac{2}{9},\\[4pt] (1,\,1) & (1,\,1) & \bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)^2 = \tfrac{1}{9}. \end{array}
Assim só ocorrem (X=1,Y=-1) com prob.\ \tfrac{4}{9}, (X=-1,Y=1) com prob.\ \tfrac{4}{9} e (X=1,Y=1) com prob.\ \tfrac{1}{9}.]

Passo 3

Marginais de X e Y:
\Pr(X=1)=\tfrac49+\tfrac19=\tfrac59,\quad \Pr(X=-1)=\tfrac49,
\Pr(Y=-1)=\tfrac49,\quad \Pr(Y=1)=\tfrac49+\tfrac19=\tfrac59.

Passo 4

Cálculo das esperanças:
\E[X] = 1\cdot\tfrac59 + (-1)\cdot\tfrac49 = \tfrac{5-4}{9} = \tfrac19,
\E[Y] = (-1)\cdot\tfrac49 + 1\cdot\tfrac59 = \tfrac{5-4}{9} = \tfrac19.

Passo 5

Cálculo de \E[XY] e de \Cov(X,Y):
\E[XY] = (1\cdot(-1))\tfrac49 + (1\cdot1)\tfrac19 + ((-1)\cdot1)\tfrac49 = -\tfrac49 + \tfrac19 - \tfrac49 = -\tfrac{7}{9}.
\Cov(X,Y) = \E[XY] - \E[X]\,\E[Y] = -\tfrac{7}{9} - \tfrac{1}{9}\cdot\tfrac{1}{9} = -\tfrac{7}{9} - \tfrac{1}{81} = -\tfrac{64}{81}.

Passo 6

Como X^2=1 e Y^2=1 sempre, temos
\Var(X) = 1 - \bigl(\tfrac19\bigr)^2 = 1 - \tfrac{1}{81} = \tfrac{80}{81},
\Var(Y) = 1 - \bigl(\tfrac19\bigr)^2 = \tfrac{80}{81}.

Passo 7

Finalmente a correlação:
\rho_{X,Y} = \frac{\Cov(X,Y)}{\sqrt{\Var(X)\,\Var(Y)}} = \frac{-\tfrac{64}{81}}{\tfrac{80}{81}} = -\frac{64}{80} = -\frac{4}{5}.

Resposta

A correlação entre X e Y é -\tfrac45.

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