Verifique se vale: sendo 0<P(A)<1 e P(B \mid A)=P\left(B \mid A^{c}\right) então A e B são independentes.

Passo 1

O enunciado dá dois eventos A e B num espaço de probabilidade, com 0<P(A)<1, e afirma que
P(B\mid A)=P(B\mid A^{c}).
Queremos mostrar que isso implica que A e B são independentes. Vamos usar a definição de probabilidade condicional, a fórmula da probabilidade total e a definição de independência.

Passo 2

Pela fórmula da probabilidade total,
P(B) = P(B\mid A)\,P(A) \;+\; P(B\mid A^{c})\,P(A^{c}).
Como P(B\mid A)=P(B\mid A^{c}), chamemos esse valor comum de p. Então
P(B) = p\,P(A) + p\,P(A^{c}) = p\bigl(P(A)+P(A^{c})\bigr) = p\cdot 1 = p.
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P(B)=P(B\mid A).

Passo 3

Pela definição de probabilidade condicional,
P(A\cap B) = P(B\mid A)\,P(A).
Como P(B\mid A)=P(B) (do passo anterior), segue
P(A\cap B) = P(B)\,P(A),
e isso é exatamente a condição de independência de A e B.

Resposta

Sim. Se 0<P(A)<1 e P(B\mid A)=P(B\mid A^{c}), então A e B são independentes.

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