Verifique se são verdadeiras as afirmações (justifique sua resposta):
a. Sendo A e B eventos não vazios, P(A \cap B) é sempre positiva.
b. Sendo P(A)=3 / 4 e P\left(B^{c}\right)=2 / 3, A e B não podem ser disjuntos.
c. Sempre que A \cap B \neq \emptyset, P(A)+P(B) excede 1 .
d. Se P(A \cup B) \leq 0,9 e P(A)=0,8; então P(B) é no máximo 0,1 .

Passo 1

O enunciado pede para verificar a veracidade de quatro afirmações sobre probabilidades de eventos, usando os axiomas básicos:
0 \le P(E)\le1 para qualquer evento E.
– Fórmula de união e intersecção:
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).

Passo 2

Analisando a afirmação a:
“Sendo A e B eventos não vazios, P(A\cap B) é sempre positiva.”
Como sabemos, um evento não vazio pode ter probabilidade zero (por ex., pontos em distribuições contínuas). Logo, mesmo que A\cap B\neq\emptyset, pode ocorrer P(A\cap B)=0.
Portanto, a afirmação é falsa.

Passo 3

Analisando a afirmação b:
“Sendo P(A)=\tfrac34 e P(B^c)=\tfrac23, A e B não podem ser disjuntos.”
Temos P(B)=1-P(B^c)=1-\tfrac23=\tfrac13.
Se A e B fossem disjuntos,
P(A\cup B)=P(A)+P(B)=\tfrac34+\tfrac13=\tfrac{9+4}{12}=\tfrac{13}{12}>1,
o que contradiz P(A\cup B)\le1. Logo, devem intersectar, e a afirmação é verdadeira.

Passo 4

Analisando a afirmação c:
“Sempre que A\cap B\neq\emptyset, P(A)+P(B) excede 1.”
Não basta a interseção ser não vazia para que as probabilidades somem mais de 1. Por ex., podemos ter
P(A)=0,4,\quad P(B)=0,4,\quad P(A\cap B)=0,2,
então P(A)+P(B)=0,8<1. Logo, a afirmação é falsa.

Passo 5

Analisando a afirmação d:
“Se P(A\cup B)\le0,9 e P(A)=0,8; então P(B) é no máximo 0,1.”
Pela fórmula
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\le0,9
vem
P(B)-P(A\cap B)\le0,1 \quad\Longrightarrow\quad P(B)\le0,1+P(A\cap B).
Como P(A\cap B) pode chegar a P(A)=0,8, P(B) pode chegar a 0,9. Logo, não é verdade que P(B) deva ser no máximo 0,1. A afirmação é falsa.

Resposta

a. Falsa
b. Verdadeira
c. Falsa
d. Falsa

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