Verifique se são verdadeiras as afirmações (justifique sua resposta):
a. Sendo
e
eventos não vazios,
é sempre positiva.
b. Sendo
e
e
não podem ser disjuntos.
c. Sempre que
excede 1 .
d. Se
e
; então
é no máximo 0,1 .
a. Sendo
b. Sendo
c. Sempre que
d. Se
Passo 1
O enunciado pede para verificar a veracidade de quatro afirmações sobre probabilidades de eventos, usando os axiomas básicos:
– para qualquer evento
.
– Fórmula de união e intersecção:
–
– Fórmula de união e intersecção:
Passo 2
Analisando a afirmação a:
“Sendo e
eventos não vazios,
é sempre positiva.”
Como sabemos, um evento não vazio pode ter probabilidade zero (por ex., pontos em distribuições contínuas). Logo, mesmo que , pode ocorrer
.
Portanto, a afirmação é falsa.
“Sendo
Como sabemos, um evento não vazio pode ter probabilidade zero (por ex., pontos em distribuições contínuas). Logo, mesmo que
Portanto, a afirmação é falsa.
Passo 3
Analisando a afirmação b:
“Sendo e
,
e
não podem ser disjuntos.”
Temos .
Se e
fossem disjuntos,
“Sendo
Temos
Se
o que contradiz
. Logo, devem intersectar, e a afirmação é verdadeira.
Passo 4
Analisando a afirmação c:
“Sempre que ,
excede 1.”
Não basta a interseção ser não vazia para que as probabilidades somem mais de 1. Por ex., podemos ter
“Sempre que
Não basta a interseção ser não vazia para que as probabilidades somem mais de 1. Por ex., podemos ter
então
. Logo, a afirmação é falsa.
Passo 5
Analisando a afirmação d:
“Se e
; então
é no máximo
.”
Pela fórmula
“Se
Pela fórmula
vem
Como
pode chegar a
,
pode chegar a
. Logo, não é verdade que
deva ser no máximo
. A afirmação é falsa.
Resposta
a. Falsa
b. Verdadeira
c. Falsa
d. Falsa
b. Verdadeira
c. Falsa
d. Falsa