Um dado é lançado uma vez e seja \Omega=\{1,2,3,4,5,6\} o correspondente espaço amostral. Considere uma função que associa p_{i} ao ponto i de \Omega e é aditiva para conjuntos disjuntos. Que condições adicionais precisam ser impostas sobre os p_{i} 's para esa função ser uma probabilidade em \Omega_{p} ?

Passo 1

O enunciado define um espaço amostral discreto \Omega=\{1,2,3,4,5,6\} e uma função P que atribui a cada ponto i\in\Omega um peso p_i, extendendo-se aditivamente a todo subconjunto de \Omega. Para que P seja uma medida de probabilidade sobre \Omega, devemos garantir que os axiomas de probabilidade de Kolmogorov se cumpram.

Passo 2

A primeira condição decorre do axioma de não negatividade, que exige
P(\{i\}) \;=\; p_i \;\ge\; 0
para todo i\in\Omega. Assim, cada p_i deve ser não negativo.

Passo 3

A segunda condição é a normalização, que exige que a probabilidade total do espaço amostral seja 1. Como \Omega é a união disjunta de seus pontos,
P(\Omega) \;=\; \sum_{i=1}^{6}P(\{i\}) \;=\;\sum_{i=1}^{6}p_i \;=\;1.

Resposta

  • \displaystyle p_i \ge 0 para todo i\in\{1,2,3,4,5,6\}.
  • \displaystyle \sum_{i=1}^{6}p_i = 1.

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