Um tronco cilíndrico de comprimento l e raio R flutua horizontalmente meio submerso em um líquido de densidade de massa rho. (a) Pela integração direta da pressão sobre a superfície do tronco, calcule a soma vetorial das forças ascendentes exercidas sobre o tronco pelo líquido. (b) Mostre que sua resposta na parte a) é consistente com o princípio de Arquimedes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta fala sobre um tronco cilíndrico de comprimento $ l $ e raio $ R $ que está meio submerso em um líquido com densidade $ \rho $. A gente vai usar conceitos de pressão e a integração para achar a força total que o líquido exerce para cima no tronco. Além disso, vamos ver como isso se relaciona com o princípio de Arquimedes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a pressão em um ponto de um fluido depende da profundidade. A pressão $ p $ em uma profundidade $ h $ é dada por:
p
onde $ g $ é a aceleração da gravidade.

Passo 3

Como o tronco está meio submerso, a profundidade máxima que o líquido alcança no tronco é $ R $ (raio do tronco). Vamos considerar uma fatia infinitesimal do tronco a uma altura $ y $ do centro, com espessura $ dy $.

Passo 4

A área dessa fatia é a circunferência do tronco multiplicada pela espessura $ dy $:
dy

Passo 5

A pressão nessa fatia é:
p = rho g y
porque a profundidade $ h $ varia com $ y $.

Passo 6

A força diferencial $ dF $ exercida pelo líquido nessa fatia é a pressão vezes a área:
dF

Passo 7

Para achar a força total, integramos $ dF $ de $ y = -R $ até $ y = 0 $ (já que estamos meio submersos):
dF

Passo 8

Calculando a integral:
F = 2pi rho g R integral-R^0 y , dy = 2pi rho g R [ y^22 ]-R^0 = 2pi rho g R ( 0 - R^22 ) = -pi rho g R^3
O sinal negativo indica que a força é para cima.

Passo 9

Então, a soma vetorial das forças ascendentes é:
F = pi rho g R^3

Resposta

A soma vetorial das forças ascendentes exercidas pelo líquido sobre o tronco é $ F = \pi \rho g R^3 $.

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