Um tronco cilíndrico de comprimento
e raio
flutua horizontalmente meio submerso em um líquido de densidade de massa
. (a) Pela integração direta da pressão sobre a superfície do tronco, calcule a soma vetorial das forças ascendentes exercidas sobre o tronco pelo líquido. (b) Mostre que sua resposta na parte a) é consistente com o princípio de Arquimedes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta fala sobre um tronco cilíndrico de comprimento $ l $ e raio $ R $ que está meio submerso em um líquido com densidade $ \rho $. A gente vai usar conceitos de pressão e a integração para achar a força total que o líquido exerce para cima no tronco. Além disso, vamos ver como isso se relaciona com o princípio de Arquimedes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a pressão em um ponto de um fluido depende da profundidade. A pressão $ p $ em uma profundidade $ h $ é dada por:
onde $ g $ é a aceleração da gravidade.
Passo 3
Como o tronco está meio submerso, a profundidade máxima que o líquido alcança no tronco é $ R $ (raio do tronco). Vamos considerar uma fatia infinitesimal do tronco a uma altura $ y $ do centro, com espessura $ dy $.
Passo 4
A área dessa fatia é a circunferência do tronco multiplicada pela espessura $ dy $:
Passo 5
A pressão nessa fatia é:
porque a profundidade $ h $ varia com $ y $.
Passo 6
A força diferencial $ dF $ exercida pelo líquido nessa fatia é a pressão vezes a área:
Passo 7
Para achar a força total, integramos $ dF $ de $ y = -R $ até $ y = 0 $ (já que estamos meio submersos):
Passo 8
Calculando a integral:
O sinal negativo indica que a força é para cima.
Passo 9
Então, a soma vetorial das forças ascendentes é:
Resposta
A soma vetorial das forças ascendentes exercidas pelo líquido sobre o tronco é $ F = \pi \rho g R^3 $.