Tempo de meia vida, considerando a equação estequiométrica para a reação elementar de ordem n.
\mathrm{nA} \rightarrow \mathrm{~B}
Determine a equação do tempo de meia vida.

Passo 1

O enunciado dá a reação elementar \mathrm{nA}\rightarrow \mathrm{B} e pede a expressão do tempo de meia‑vida. Informações relevantes que temos do enunciado:
\text{Reação: }\mathrm{nA}\rightarrow \mathrm{B}çã
  • Concentrção inicial de A: [A]_0.
  • Definição de tempo de meia‑vida: \,t_{1/2} é o tempo em que a concentração de A cai para metade, ou seja [A](t_{1/2})=\dfrac{[A]_0}{2}.
  • O enunciado indica reação elementar de ordem n. (Usaremos isso para relacionar a velocidade com [A], mas a montagem da equação começará no próximo passo.)

Passo 2

Escolha do modelo da taxa (motivação): para uma reação elementar que envolve n moléculas de A simultaneamente, a velocidade instantânea da reação é proporcional a [A]^n. Tomamos, portanto, a forma usual da lei da velocidade para concentração de A:
-\frac{d[A]}{dt}=k\,[A]^n,
onde k é a constante de velocidade (positiva) e [A]=[A](t) é a concentração de A no tempo t. Aqui a equação está escrita no formato em que a taxa de desaparecimento de [A] é k[A]^n, que é a convenção comum em química cinética para reações elementares.

Passo 3

Separamos variáveis para integrar a equação diferencial. Reescrevendo:
\frac{d[A]}{[A]^n} = -k\,dt.
Explicação: “separar variáveis” significa escrever todos os termos em [A] do lado esquerdo e todos os termos em t do lado direito, para então integrar ambos os lados.

Passo 4

Integração para o caso geral n\neq 1. Integramos ambos os lados entre t=0 (com [A]=[A]_0) e tempo genérico t (com [A]=[A](t)):
\int_{[A]_0}^{[A](t)} [A]^{-n}\,d[A] = \int_{0}^{t} -k\,dt.
Agora calculamos a primitiva do lado esquerdo. Para n\neq 1,
\int [A]^{-n}\,d[A] = \frac{[A]^{\,1-n}}{1-n} + C,
porque a regra é \int x^{m}\,dx = x^{m+1}/(m+1) (aqui m=-n). Aplicando os limites:
\frac{[A](t)^{\,1-n}-[A]_0^{\,1-n}}{1-n} = -k\,t.
Multiplicando por 1-n e reordenando:
[A](t)^{\,1-n} = [A]_0^{\,1-n} - (1-n)\,k\,t.
Observação: essa é a forma integrada da lei de velocidade para ordem n\neq 1.

Passo 5

Agora usamos a definição de meia‑vida. Em t=t_{1/2} vale [A](t_{1/2})=\dfrac{[A]_0}{2}. Substituímos na expressão integrada:
\left(\frac{[A]_0}{2}\right)^{1-n} = [A]_0^{\,1-n} - (1-n)\,k\,t_{1/2}.
Calculamos \left(\dfrac{[A]_0}{2}\right)^{1-n} = [A]_0^{\,1-n}\,2^{\,n-1}. Substituindo:
[A]_0^{\,1-n}\,2^{\,n-1} = [A]_0^{\,1-n} - (1-n)\,k\,t_{1/2}.

Passo 6

Isolamos t_{1/2}. Primeiro reescrevemos a igualdade da Passo 5 subtraindo [A]_0^{\,1-n}\,2^{\,n-1} de ambos os lados e fazendo as manipulações algébricas:
[A]_0^{\,1-n} - [A]_0^{\,1-n}\,2^{\,n-1} = (1-n)\,k\,t_{1/2}.
Fatorando [A]_0^{\,1-n}:
[A]_0^{\,1-n}\left(1-2^{\,n-1}\right) = (1-n)\,k\,t_{1/2}.
Agora observamos que 1-2^{\,n-1}=-(2^{\,n-1}-1) e 1-n=-(n-1), então os sinais negativos se cancelam. Dividindo ambos os lados por (1-n)k e simplificando obtemos:
t_{1/2} = \frac{2^{\,n-1}-1}{(n-1)\,k\,[A]_0^{\,n-1}}.
Também podemos escrever, equivalently,
t_{1/2} = \frac{[A]_0^{\,1-n}\left(2^{\,n-1}-1\right)}{(n-1)k}.
Explicação das formas: usar [A]_0^{\,1-n}=1/[A]_0^{\,n-1} permite obter a expressão com [A]_0^{\,n-1} no denominador, que é mais usual.

Passo 7

Tratamento especial do caso n=1. A integração feita no Passo 4 não vale quando n=1 porque a primitiva usada tem divisão por 1-n. Para n=1 voltamos à equação diferencial original:
-\frac{d[A]}{dt}=k\,[A].
Separamos e integramos:
\int_{[A]_0}^{[A](t)} \frac{d[A]}{[A]} = \int_{0}^{t} -k\,dt.
A primitiva é logarítmica:
\ln\!\bigg(\frac{[A](t)}{[A]_0}\bigg) = -k\,t.
Em t=t_{1/2} temos [A](t_{1/2})=[A]_0/2, então
\ln\!\bigg(\frac{1}{2}\bigg) = -k\,t_{1/2}.
Como \ln(1/2)=-\ln 2, segue
t_{1/2}=\frac{\ln 2}{k}.
Comentário: essa é a expressão clássica para meia‑vida de reação de primeira ordem; note que não depende de [A]_0.

Resposta

\text{Se }n=1:\quad t_{1/2}=\frac{\ln 2}{k}
\text{Se }n\neq 1:\quad t_{1/2}=\frac{2^{\,n-1}-1}{(n-1)\,k\,[A]_0^{\,n-1}}

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