Tempo de meia vida, considerando a equação estequiométrica para a reação elementar de ordem n.
Determine a equação do tempo de meia vida.
Passo 1
O enunciado dá a reação elementar
e pede a expressão do tempo de meia‑vida. Informações relevantes que temos do enunciado:
- Concentrção inicial de
: . - Definição de tempo de meia‑vida:
é o tempo em que a concentração de cai para metade, ou seja . - O enunciado indica reação elementar de ordem
. (Usaremos isso para relacionar a velocidade com , mas a montagem da equação começará no próximo passo.)
Passo 2
Escolha do modelo da taxa (motivação): para uma reação elementar que envolve
moléculas de
simultaneamente, a velocidade instantânea da reação é proporcional a
. Tomamos, portanto, a forma usual da lei da velocidade para concentração de
:
onde
é a constante de velocidade (positiva) e
é a concentração de
no tempo
. Aqui a equação está escrita no formato em que a taxa de desaparecimento de
é
, que é a convenção comum em química cinética para reações elementares.
Passo 3
Separamos variáveis para integrar a equação diferencial. Reescrevendo:
Explicação: “separar variáveis” significa escrever todos os termos em
do lado esquerdo e todos os termos em
do lado direito, para então integrar ambos os lados.
Passo 4
Integração para o caso geral
. Integramos ambos os lados entre
(com
) e tempo genérico
(com
):
Agora calculamos a primitiva do lado esquerdo. Para
,
porque a regra é
(aqui
). Aplicando os limites:
Multiplicando por
e reordenando:
Observação: essa é a forma integrada da lei de velocidade para ordem
.
Passo 5
Agora usamos a definição de meia‑vida. Em
vale
. Substituímos na expressão integrada:
Calculamos
. Substituindo:
Passo 6
Isolamos
. Primeiro reescrevemos a igualdade da Passo 5 subtraindo
de ambos os lados e fazendo as manipulações algébricas:
Fatorando
:
Agora observamos que
e
, então os sinais negativos se cancelam. Dividindo ambos os lados por
e simplificando obtemos:
Também podemos escrever, equivalently,
Explicação das formas: usar
permite obter a expressão com
no denominador, que é mais usual.
Passo 7
Tratamento especial do caso
. A integração feita no Passo 4 não vale quando
porque a primitiva usada tem divisão por
. Para
voltamos à equação diferencial original:
Separamos e integramos:
A primitiva é logarítmica:
Em
temos
, então
Como
, segue
Comentário: essa é a expressão clássica para meia‑vida de reação de primeira ordem; note que não depende de
.