PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
2a LISTA DE EXERCÍCIOS ( CAP. II )
Se f(x, y)=(1 / 3)(x+y) ; 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 2 e 0 ; caso contrário, determine:
Fx / y(0,5 / 1)=P[X <= 1 / 2 / Y <= 1]

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente achar
f(x,y)=13(x+y), 0<= x<=1,; 0<= y<=2,
onde a densidade conjunta é
P[X<= amid Y<= b] =Pl(X<= acapY<= br)P(Y<= b)
e zero caso contrário.
Conteúdo: Probabilidade condicional em variáveis contínuas.
O que vamos usar:
  1. A definição
  1. Cálculo de integrais duplas para obter essas probabilidades.

Passo 2

Calcular P(Y<=1) =integral dupla0<= x<=1,;0<= y<=1 f(x,y),dx,dy =integral dupla0^1!!integral0^1x+y3,dx,dy .
Por definição,
integral0^1(x+y),dx =integral0^1x,dx+integral0^1y,dx =l[tfracx^22r]0^1 +yl[xr]0^1 =tfrac12+ y
Primeiro integramos em P(Y<=1) =integral0^113l(tfrac12+yr),dy =13l[tfrac12,y+tfracy^22r]0^1 =13l(tfrac12+tfrac12r) =13cdot1 =13 :
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Passo 3

Calcular P(X<=tfrac12,;Y<=1) =integral dupla0<= x<=1/2,;0<= y<=1x+y3,dx,dy =integral0^1!!integral0^1/2x+y3,dx,dy .
integral0^1/2(x+y),dx =l[tfracx^22r]0^1/2 +yl[xr]0^1/2 =tfrac(1/2)^22+ycdottfrac12 =tfrac1/42+tfracy2 =tfrac18+tfracy2
Integramos primeiro em P(X<=tfrac12,;Y<=1) =integral0^113l(tfrac18+tfracy2r),dy =13l[tfrac18y+tfrac12cdottfracy^22r]0^1 =13l(tfrac18+tfrac14r) =13cdottfrac38 =tfrac18 :
Então

Passo 4

Aplicar a fórmula da probabilidade condicional:
P[X<=tfrac12mid Y<=1] =P(X<=tfrac12,;Y<=1)P(Y<=1) =tfrac18tfrac13 =tfrac18times 3 =tfrac38 =0,375

Resposta

P[X<=1/2mid Y<=1] = 38approx0,375

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