PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
2a LISTA DE EXERCÍCIOS ( CAP. II )
Se f(x, y)=(1 / 3)(x+y) ; 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 2 e 0 ; caso contrário, determine:
a) fx / y(x / y);

Passo 1

Beleza, o exercício diz que temos uma densidade conjunta
f(x,y)=13(x+y), 0<= x<=1,;0<= y<=2,
e zero caso contrário. O que a gente quer é a densidade condicional de fXmid Y(xmid y) dado fXmid Y(xmid y)=f(x,y)fY(y) , ou seja
Isso faz parte de Probabilidade e Estatística, em específico Distribuições Conjuntas e Condicionais. Para resolver, precisamos:
  1. Calcular a densidade marginal de , , integrando em .
  2. Usar a definição

Passo 2

Primeiro, vamos achar a marginal de fY(y)=integral0^1f(x,y),dx =integral0^113(x+y),dx :
fY(y) =13l(tfrac12 + yr) =16+y3
Quebra em duas partes:
e .
Logo
Lembra que isso vale só para .

Passo 3

Agora é direto:
fXmid Y(xmid y) =f(x,y)fY(y) =tfrac13(x+y)tfrac16+tfracy3
Só falta simplificar:
tfrac16+tfracy3=1+2y6,
então
fXmid Y(xmid y) =tfrac13(x+y)tfrac1+2y6 =63,x+y1+2y =2,x+y1+2y

Resposta

Para boxed fXmid Y(xmid y) =2,(x+y)1+2y e ,
Fora desse intervalo, a densidade vale zero.

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