PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
2a LISTA DE EXERCÍCIOS ( CAP. II )
Se f(x, y)=(1 / 3)(x+y) ; 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 2 e 0 ; caso contrário, determine:
b) Fx / y(2 / y)=P[X <= 2 / Y=y];

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado é o seguinte: temos uma densidade conjunta
f(x,y)=13(x+y)para 0<= x<=1,;0<= y<=2,
e zero caso contrário. O conteúdo é Probabilidade Condicional de Variáveis Contínuas. Vamos precisar:
1) calcular a densidade marginal de ,
2) montar a densidade condicional ,
3) integrar essa densidade até para achar
.

Passo 2

Primeiro a gente lembra que, para variáveis contínuas,
densidade marginal de fY(y)=integral-infty^inftyf(x,y),dx =integralx=0^113(x+y),dx, é
porque fora de a densidade é zero.

Passo 3

Vamos calcular aquela integral:
integral0^1(x+y),dx =integral0^1x,dx+integral0^1y,dx =l[tfracx^22r]0^1 +y,[x]0^1 =12 + ycdot1 =12 + y
Logo
fY(y) =13l(tfrac12+yr) =1+2y6, 0<= y<=2

Passo 4

Agora a densidade condicional de fX|Y(x|y) =f(x,y)fY(y) =13(x+y)1+2y6 =63,x+y1+2y =2,x+y1+2y, dado é
para .

Passo 5

A partir daí, a função de distribuição condicional em FX|Y(2|y) =P(X<=2mid Y=y) =integral-infty^2fX|Y(x|y),dx é
FX|Y(2|y) =integral0^12,x+y1+2y,dx
Mas note que só pode variar de 0 a 1. Como ,
integrar até 2 é o mesmo que integrar até 1:

Passo 6

Calcule essa integral:
integral0^1(x+y),dx =12 + y Longrightarrow integral0^12,x+y1+2y,dx =21+2yl(tfrac12+yr) =21+2ycdot1+2y2 =1

Resposta

FX|Y(2|y)=1, para todo 0<= y<=2

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