A probabilidade de haver atraso no vôo diário que leva a mala postal a certa cidade é 0,2 . A probabilidade de haver atraso na distribuição local da correspondência é 0,15 se não houver atraso no vôo e 0,25 se houver atraso no vôo.
b) Se em certo dia a correspondência foi distribuída com atraso, qual a probabilidade de que tenha havido atraso no vôo?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos:
  • A probabilidade de atraso no vôo diário (chamamos isso de evento A) é 0,2.
  • A probabilidade de atraso na distribuição local (evento B) é 0,15 se não atrasou o vôo (Aᶜ) e 0,25 se atrasou o vôo (A).
Conteúdo: probabilidade condicional e Teorema de Bayes.
O que vamos precisar:
  1. Entender condicional: P(B|A) e P(B|A^c).
  2. Lei da probabilidade total para achar P(B).
  3. Teorema de Bayes para virar e achar P(A|B), que é o que o exercício pede.

Passo 2

Definindo direitinho os eventos:
  • A = “houve atraso no vôo”
  • Aᶜ = “não houve atraso no vôo”
  • B = “houve atraso na distribuição local”
As informações que temos em forma de probabilidade condicional:
P(A) = 0,2
P(B|A) = 0,25
P(B|A^c) = 0,15

Passo 3

Primeiro passo prático: calcular P(B), ou seja, a chance de atrasar na distribuição independentemente do que aconteceu no vôo. A gente usa a Lei da Probabilidade Total:
P(B) = P(B|A),P(A) + P(B|A^c),P(A^c)
Substituindo os valores:
P(B) = 0.25 times 0.2 ;+; 0.15 times 0.8
Fazendo as contas:
  • 0.25 times 0.2 = 0.05
  • 0.15 times 0.8 = 0.12
    Logo
P(B) = 0.05 + 0.12 = 0.17

Passo 4

Agora é o momento do Teorema de Bayes. A gente quer P(A|B), ou seja, “dado que houve atraso na distribuição, qual a chance de ter atrasado o vôo?”. A fórmula é:
P(A|B) = P(B|A),P(A)P(B)
Substituindo:
P(A|B) = 0.25 times 0.20.17 = 0.050.17 approx 0,2941

Resposta

A probabilidade de que tenha havido atraso no vôo, dado que a distribuição foi atrasada, é aproximadamente 0,2941 (ou 29,41%).

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