Ondina está realizando um teste de múltipla escolha, em que cada questão apresenta 5 alternativas, sendo uma e apenas uma correcta. Se Ondina sabe resolver a questão, ela marca a resposta certa. Se ela não sabe, ele marca aleatoriamente uma das alternativas. Ondina sabe
das questões do teste.
b) Se para uma dada questão ela dá a resposta certa, qual é a probabilidade de que ela conhecia a pergunta?
b) Se para uma dada questão ela dá a resposta certa, qual é a probabilidade de que ela conhecia a pergunta?
Passo 1
Beleza, vamos recapitular: Ondina faz um teste de múltipla escolha com 5 alternativas (só uma certa). Ela sabe a resposta em 60% das questões, e quando sabe ela acerta, mas quando não sabe ela chuta aleatoriamente entre as 5. A questão pede: sabendo que ela acertou uma questão, qual a probabilidade de que ela realmente a conhecia?
Conteúdo: probabilidade condicional e Teorema de Bayes. A gente vai precisar calcular P(“ela sabia” | “ela acertou”) usando Bayes.
Conteúdo: probabilidade condicional e Teorema de Bayes. A gente vai precisar calcular P(“ela sabia” | “ela acertou”) usando Bayes.
Passo 2
Definindo eventos:
K = ela conhece a questão (P(K)=0{,}6)
¬K = ela não conhece (P(¬K)=0{,}4)
A = ela acerta a questão
K = ela conhece a questão (P(K)=0{,}6)
¬K = ela não conhece (P(¬K)=0{,}4)
A = ela acerta a questão
Sabendo que:
P(A|K) = 1 (se ela sabe, sempre acerta)
P(A|¬K) = 1/5 (se não sabe, chuta aleatoriamente entre 5)
P(A|K) = 1 (se ela sabe, sempre acerta)
P(A|¬K) = 1/5 (se não sabe, chuta aleatoriamente entre 5)
Passo 3
Primeiro, calcula a probabilidade de ela acertar, sem nenhuma condição, usando a Lei da Probabilidade Total:
Substituindo:
Passo 4
Agora aplicamos o Teorema de Bayes para achar P(K|A):
Resposta
A probabilidade de que ela realmente conhecia a pergunta, dado que ela acertou, é