Ondina está realizando um teste de múltipla escolha, em que cada questão apresenta 5 alternativas, sendo uma e apenas uma correcta. Se Ondina sabe resolver a questão, ela marca a resposta certa. Se ela não sabe, ele marca aleatoriamente uma das alternativas. Ondina sabe 60 % das questões do teste.
b) Se para uma dada questão ela dá a resposta certa, qual é a probabilidade de que ela conhecia a pergunta?

Passo 1

Beleza, vamos recapitular: Ondina faz um teste de múltipla escolha com 5 alternativas (só uma certa). Ela sabe a resposta em 60% das questões, e quando sabe ela acerta, mas quando não sabe ela chuta aleatoriamente entre as 5. A questão pede: sabendo que ela acertou uma questão, qual a probabilidade de que ela realmente a conhecia?
Conteúdo: probabilidade condicional e Teorema de Bayes. A gente vai precisar calcular P(“ela sabia” | “ela acertou”) usando Bayes.

Passo 2

Definindo eventos:
K = ela conhece a questão (P(K)=0{,}6)
¬K = ela não conhece (P(¬K)=0{,}4)
A = ela acerta a questão
Sabendo que:
P(A|K) = 1 (se ela sabe, sempre acerta)
P(A|¬K) = 1/5 (se não sabe, chuta aleatoriamente entre 5)

Passo 3

Primeiro, calcula a probabilidade de ela acertar, sem nenhuma condição, usando a Lei da Probabilidade Total:
P(A) ;=; P(A|K),P(K);+;P(A|neg K),P(neg K)
Substituindo:
P(A) = 1cdot 0,6 ;+;tfrac15cdot 0,4 = 0,6 + 0,08 = 0,68

Passo 4

Agora aplicamos o Teorema de Bayes para achar P(K|A):
P(Kmid A) = P(Amid K),P(K)P(A) = 1cdot 0,60,68 = 0,60,68 = 6068 = 1517

Resposta

A probabilidade de que ela realmente conhecia a pergunta, dado que ela acertou, é
boxed1517approx 0,8824 (ou 88,24%)

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