A probabilidade de haver atraso no vôo diário que leva a mala postal a certa cidade é 0,2 . A probabilidade de haver atraso na distribuição local da correspondência é 0,15 se não houver atraso no vôo e 0,25 se houver atraso no vôo.
c) Qual a probabilidade de que tenha havido atraso no vôo se a correspondência não foi distribuída em atraso?

Passo 1

Beleza, vamos resumir:
Temos um vôo que pode atrasar (evento A) com probabilidade P(A)=0,2. Depois desse vôo chega a distribuição local, que só atrasa (evento D) dependendo se o vôo atrasou ou não:
  • P(Dmid A)=0,25
  • P(Dmid A^c)=0,15
O que a gente quer é saber a probabilidade de ter havido atraso no vôo, dado que a correspondência não atrasou na distribuição, ou seja, P(Amid D^c).
O conteúdo aqui é probabilidade condicional e o Teorema de Bayes. Pra resolver, vamos precisar:
  1. calcular P(D^c) usando a probabilidade total;
  2. usar Bayes para achar P(Amid D^c).

Passo 2

Primeiro, anota as probabilidades de não atrasar na distribuição:
  • Se o vôo atrasou (A), então P(D^cmid A)=1 - P(Dmid A)=1 - 0,25=0,75.
  • Se o vôo não atrasou (A^c), então P(D^cmid A^c)=1 - P(Dmid A^c)=1 - 0,15=0,85.

Passo 3

Agora, acha P(D^c) pela probabilidade total:
P(D^c)=P(D^cmid A),P(A);+;P(D^cmid A^c),P(A^c)
Substituindo:
P(D^c)=0,75cdot0,2 ;+;0,85cdot0,8 =0,15 + 0,68 = 0,83

Passo 4

Finalmente, aplica o Teorema de Bayes pra P(Amid D^c):
P(Amid D^c)=P(D^cmid A),P(A)P(D^c) =0,75cdot0,20,83 =0,150,83approx0,1807

Resposta

A probabilidade de ter havido atraso no vôo, dado que a correspondência não atrasou, é aproximadamente 0,1807 (ou 18,07%).

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