Em uma escola as turmas \mathrm{A}, \mathrm{B} e C têm 40 \%, 50 \% e 10 \% do total de alunos de determinada série, respectivamente. Dos alunos de cada turma 3 \%, 5 \% e 2 \%, respectivamente, estão reprovados. Selecionando aleatoriamente um aluno desta série, pede-se as probabilidades dos eventos a seguir:

Passo 1

O enunciado dá as proporções de alunos por turma e as porcentagens de reprovados em cada turma, e termina dizendo “pede-se as probabilidades dos eventos a seguir:”, mas a lista dos eventos NÃO FOI ENVIADA. Dados fornecidos (peguei essas informações do enunciado):
P(A)=0{,}40,\qquad P(B)=0{,}50,\qquad P\text{(C)}=0{,}10
P(R\mid A)=0{,}03,\qquad P(R\mid B)=0{,}05,\qquad P(R\mid C)=0{,}02
onde A,B,C são os eventos “aluno pertence à turma A, B, C” e R é o evento “aluno está reprovado”.
Como a lista de eventos pedida não foi enviada, não dá para responder exatamente “os eventos a seguir” — faltou essa parte do enunciado. Não vou inventar os eventos pedidos. Em vez disso, vou explicar passo a passo como calcular as probabilidades mais naturais que costumam ser pedidas nesse tipo de questão (e que provavelmente eram as solicitadas): as probabilidades de um aluno ser reprovado vindo de cada turma ( P(A\cap R),P(B\cap R),P(C\cap R)), a probabilidade total de reprovação P(R) e as probabilidades condicionais inversas P(A\mid R),P(B\mid R),P(C\mid R). Se você queria outros eventos, me avisa depois, mas esses são os mais comuns.

Passo 2

Vou definir e explicar as fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática).
  • Definições: P(A) é a probabilidade de selecionar um aluno da turma A; P(R\mid A) é a probabilidade de o aluno estar reprovado dado que ele é da turma A.
  • Regra do produto (definição de probabilidade condicional): para qualquer dois eventos X e Y,
P(X\cap Y)=P(X)\,P(Y\mid X).
Isto diz: para achar a probabilidade de ambos acontecerem, multiplica-se a probabilidade do primeiro pelo da ocorrência do segundo sabendo que o primeiro ocorreu. Aqui usaremos para P(A\cap R)=P(A)P(R\mid A).
  • Teorema da probabilidade total: se \{A,B,C\} formam uma partição do espaço (aqui o aluno pertence a exatamente uma dessas turmas), então
P(R)=P(A\cap R)+P(B\cap R)+P(C\cap R).
Isto dá a probabilidade global de reprovação somando as contribuições de cada turma.
  • Teorema de Bayes (para interpretar de forma inversa): por exemplo,
P(A\mid R)=\frac{P(A\cap R)}{P(R)}.
Isso nos dá a probabilidade do aluno ser da turma A sabendo que ele está reprovado.

Passo 3

Calcular P(A\cap R) usando a regra do produto:
P(A\cap R)=P(A)\,P(R\mid A)=0{,}40\cdot0{,}03.
Fazendo a conta:
0{,}40\cdot0{,}03=0{,}012.
Portanto P(A\cap R)=0{,}012 (que é \tfrac{3}{250} em fração).

Passo 4

Calcular P(B\cap R):
P(B\cap R)=P(B)\,P(R\mid B)=0{,}50\cdot0{,}05=0{,}025.
Logo P(B\cap R)=0{,}025 (que é \tfrac{1}{40} em fração).

Passo 5

Calcular P(C\cap R):
P(C\cap R)=P\text{(C)}\,P(R\mid C)=0{,}10\cdot0{,}02=0{,}002.
Assim P(C\cap R)=0{,}002 (que é \tfrac{1}{500} em fração).

Passo 6

Calcular a probabilidade total de reprovação P(R) somando as contribuições:
P(R)=0{,}012+0{,}025+0{,}002=0{,}039.
Em porcentagem, P(R)=3{,}9\%. Em fração, P(R)=\tfrac{39}{1000}.

Passo 7

Agora as probabilidades condicionais inversas (Bayes). Por exemplo,
P(A\mid R)=\frac{P(A\cap R)}{P(R)}=\frac{0{,}012}{0{,}039}.
Simplificando em frações dá \tfrac{12}{39}=\tfrac{4}{13}. Em decimal:
P(A\mid R)\approx0{,}307692\quad(\approx30{,}769\%).
Para B:
P(B\mid R)=\frac{0{,}025}{0{,}039}=\frac{25}{39}\approx0{,}641026\quad(\approx64{,}103\%).
Para C:
P(C\mid R)=\frac{0{,}002}{0{,}039}=\frac{2}{39}\approx0{,}051282\quad(\approx5{,}128\%).
Cheque rápido: \tfrac{4}{13}+\tfrac{25}{39}+\tfrac{2}{39}=\tfrac{12}{39}+\tfrac{25}{39}+\tfrac{2}{39}=\tfrac{39}{39}=1, OK.

Passo 8

Interpretação final e incentivo rápido:
  • A chance de um aluno aleatório dessa série estar reprovado é 3{,}9\%.
  • Dado que um aluno está reprovado, ele tem mais probabilidade de ser da turma B (aprox. 64{,}1\%), porque B é grande e tem taxa de reprovação relativamente alta.
    Se quiser que eu escreva as respostas exatamente na forma pedida pelo seu professor (por exemplo só alguns desses itens ou com arredondamento diferente), manda a parte faltante do enunciado e eu ajusto na hora. Você está indo bem — respira fundo que dá tempo de fixar isso!

Resposta

P(A\cap R)=0{,}012
P(B\cap R)=0{,}025
P(C\cap R)=0{,}002
P(R)=0{,}039
P(A\mid R)=\tfrac{4}{13}\approx0{,}307692
P(B\mid R)=\tfrac{25}{39}\approx0{,}641026
P(C\mid R)=\tfrac{2}{39}\approx0{,}051282

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