Qual a probabilidade do professor ter chegado antes de 18:30, sabendo que ele encontrou vaga?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta: “Qual a probabilidade do professor ter chegado antes de 18:30, sabendo que ele encontrou vaga?”. Isso está relacionado à probabilidade condicional, que é quando a gente quer saber a chance de um evento acontecer dado que outro já aconteceu. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular probabilidades condicionais usando a fórmula certa e aplicar isso ao problema do professor chegar antes de 18:30 e encontrar vaga.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é probabilidade condicional. É a probabilidade de um evento A acontecer dado que um evento B já ocorreu. A fórmula para calcular isso é:
P(A|B) = P(A cap B)P(B)
Aqui, $ P(A|B) $ é a probabilidade de A ocorrer sabendo que B aconteceu, $ P(A \cap B) $ é a probabilidade de A e B acontecerem juntos, e $ P(B) $ é a probabilidade de B acontecer.

Passo 3

No nosso caso:
  • Evento A: O professor chegou antes de 18:30.
  • Evento B: O professor encontrou vaga.
Então, queremos encontrar $ P(A|B) $, ou seja, a probabilidade de o professor ter chegado antes de 18:30 sabendo que ele encontrou vaga.

Passo 4

Para aplicar a fórmula, precisamos saber:
  1. $ P(A \cap B) $: A probabilidade de o professor ter chegado antes de 18:30 e ter encontrado vaga.
  2. $ P(B) $: A probabilidade de o professor ter encontrado vaga, independente de quando chegou.
Vamos supor alguns valores para facilitar o entendimento. Digamos que:
  • A probabilidade de o professor chegar antes de 18:30 é de 60%, ou seja, $ P(A) = 0.6 $.
  • A probabilidade de encontrar vaga se chegar antes de 18:30 é de 80%, então $ P(B|A) = 0.8 $.
  • A probabilidade de chegar depois de 18:30 é de 40%, ou seja, $ P(\neg A) = 0.4 $.
  • A probabilidade de encontrar vaga se chegar depois de 18:30 é de 30%, então $ P(B|\neg A) = 0.3 $.
Agora, podemos calcular $ P(B) $ usando a regra da probabilidade total:
P(A cap B)
P(B)
Agora, para $ P(A \cap B) $, que é a probabilidade de chegar antes de 18:30 e encontrar vaga, usamos:
P(A) = 0.6

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da probabilidade condicional:
P(A|B) = P(A cap B)P(B) = 0.480.6 = 0.8

Resposta

A probabilidade do professor ter chegado antes de 18:30, sabendo que ele encontrou vaga, é de 80%.

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