As probabilidades de um marido e sua esposa estarem vivos daqui a 20 anos são, respectivamente, 0,8 e 0,9 . Determine a probabilidade de que, daqui a 20 anos:
ambos estejam vivos.
ambos estejam vivos.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
- Probabilidade do marido estar vivo daqui a 20 anos:
. - Probabilidade da esposa estar viva daqui a 20 anos:
. - Pergunta: determinar a probabilidade de que, daqui a 20 anos, ambos estejam vivos.
Passo 2
Vamos definir eventos para organizar as ideias (isso ajuda muito na prova).
- Seja
o evento “o marido está vivo daqui a 20 anos”. - Seja
o evento “a esposa está viva daqui a 20 anos”.
As informações do enunciado dizem então que
e
Passo 3
Agora a regra básica que precisamos usar: quando dois eventos são independentes, a probabilidade de ambos ocorrerem é o produto das probabilidades individuais. Matematicamente,
onde
é a probabilidade de “H e W acontecerem ao mesmo tempo”. Explicando numa linguagem bem leve: se o fato do marido sobreviver não altera a chance da esposa sobreviver (ou seja, as duas probabilidades não influenciam uma à outra), então a chance dos dois sobreviverem é simplesmente multiplicar as chances de cada um.
Um exemplo rápido e concreto: se a chance de chover amanhã é
e a chance de eu ganhar na loteria é
, e essas duas coisas são independentes, a chance de chover e eu ganhar é
.
Passo 4
O enunciado não fala sobre dependência entre as sobrevivências. Em exercícios como este, o entendimento padrão é assumir independência (caso contrário não há informação suficiente para calcular a probabilidade conjunta). Se houvesse dependência, precisávamos de informações adicionais (por exemplo, a probabilidade condicional
ou a probabilidade conjunta já dada). Então seguimos com a hipótese razoável de independência e usamos a fórmula do passo anterior.
Passo 5
Aplicando a fórmula:
Fazendo a conta passo a passo:
. Como cada fator tinha uma casa decimal, o resultado tem duas casas decimais, então
Em termos percentuais, isso é
.
Resposta
0,72 (72%)