As probabilidades de um marido e sua esposa estarem vivos daqui a 20 anos são, respectivamente, 0,8 e 0,9 . Determine a probabilidade de que, daqui a 20 anos:
ao menos um esteja vivo.
ao menos um esteja vivo.
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e faz esta pergunta.
- Probabilidade do marido estar vivo daqui a 20 anos:
. - Probabilidade da esposa estar viva daqui a 20 anos:
. - Pergunta: qual é a probabilidade de que, daqui a 20 anos, ao menos um dos dois esteja vivo? Ou seja, queremos
.
Passo 2
Interpretação do pedido: “ao menos um esteja vivo” é o evento “marido ou esposa (ou ambos) vivos”. Em notação de probabilidade isso é o evento
. Uma forma muito prática de calcular
é usar o complemento: o evento complementar a “ao menos um vivo” é “nenhum vivo” (ou seja, ambos mortos). Então vale a identidade
Vou usar essa identidade porque costuma ser a maneira mais curta e limpa.
Passo 3
Defino eventos e suas probabilidades complementares:
-
= “marido vivo em 20 anos”, então . Logo o complemento = “marido morto em 20 anos” tem probabilidade
-
= “esposa viva em 20 anos”, então . Logo o complemento = “esposa morta em 20 anos” tem probabilidade
Passo 4
Agora precisamos de
, ou seja, a probabilidade de ambos estarem mortos. Para obter
a partir de
e
é necessário saber a relação entre os eventos
e
. O enunciado só deu as probabilidades marginais e não deu informação sobre dependência; por convenção em exercícios assim (e porque sem mais informação não dá para calcular) assumimos que os acontecimentos de cada pessoa estar viva são independentes. Isso significa que a ocorrência de um não altera a probabilidade do outro. Matematicamente, se
e
são independentes então
Explico rápido o porquê: independência significa exatamente que a probabilidade conjunta é o produto das marginais — é uma regra básica de probabilidade muito usada em problemas desse tipo.
Passo 5
Aplicando a fórmula de independência com os valores que já temos:
Ou seja, a probabilidade de que ambos estejam mortos daqui a 20 anos é
(dois por cento).
Passo 6
Voltando ao complemento do Passo 2, a probabilidade de que ao menos um esteja vivo é
Interpretação: tem
de chance de pelo menos uma das duas pessoas estar viva daqui a 20 anos, dado que tratamos os eventos como independentes.
Passo 7
(Verificação alternativa — útil para a prova) Podemos também calcular usando a fórmula da união:
Se
e
são independentes,
. Então
mesmo resultado — sinal de que o cálculo está consistente.