As probabilidades de um marido e sua esposa estarem vivos daqui a 20 anos são, respectivamente, 0,8 e 0,9 . Determine a probabilidade de que, daqui a 20 anos:
ao menos um esteja vivo.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e faz esta pergunta.
  • Probabilidade do marido estar vivo daqui a 20 anos: P(M)=0,8.
  • Probabilidade da esposa estar viva daqui a 20 anos: P(E)=0,9.
  • Pergunta: qual é a probabilidade de que, daqui a 20 anos, ao menos um dos dois esteja vivo? Ou seja, queremos P(\text{ao menos um vivo}).

Passo 2

Interpretação do pedido: “ao menos um esteja vivo” é o evento “marido ou esposa (ou ambos) vivos”. Em notação de probabilidade isso é o evento M\cup E. Uma forma muito prática de calcular P(M\cup E) é usar o complemento: o evento complementar a “ao menos um vivo” é “nenhum vivo” (ou seja, ambos mortos). Então vale a identidade
P(M\cup E)=1-P(\text{nenhum vivo}).
Vou usar essa identidade porque costuma ser a maneira mais curta e limpa.

Passo 3

Defino eventos e suas probabilidades complementares:
  • M = “marido vivo em 20 anos”, então P(M)=0,8. Logo o complemento M^{c} = “marido morto em 20 anos” tem probabilidade
P(M^{c})=1-P(M)=1-0,8=0,2.
  • E = “esposa viva em 20 anos”, então P(E)=0,9. Logo o complemento E^{c} = “esposa morta em 20 anos” tem probabilidade
P(E^{c})=1-P(E)=1-0,9=0,1.

Passo 4

Agora precisamos de P(\text{nenhum vivo})=P(M^{c}\cap E^{c}), ou seja, a probabilidade de ambos estarem mortos. Para obter P(M^{c}\cap E^{c}) a partir de P(M^{c}) e P(E^{c}) é necessário saber a relação entre os eventos M^{c} e E^{c}. O enunciado só deu as probabilidades marginais e não deu informação sobre dependência; por convenção em exercícios assim (e porque sem mais informação não dá para calcular) assumimos que os acontecimentos de cada pessoa estar viva são independentes. Isso significa que a ocorrência de um não altera a probabilidade do outro. Matematicamente, se M^{c} e E^{c} são independentes então
P(M^{c}\cap E^{c})=P(M^{c})\cdot P(E^{c}).
Explico rápido o porquê: independência significa exatamente que a probabilidade conjunta é o produto das marginais — é uma regra básica de probabilidade muito usada em problemas desse tipo.

Passo 5

Aplicando a fórmula de independência com os valores que já temos:
P(M^{c}\cap E^{c})=P(M^{c})\cdot P(E^{c})=0,2\cdot 0,1=0,02.
Ou seja, a probabilidade de que ambos estejam mortos daqui a 20 anos é 0,02 (dois por cento).

Passo 6

Voltando ao complemento do Passo 2, a probabilidade de que ao menos um esteja vivo é
P(M\cup E)=1-P(M^{c}\cap E^{c})=1-0,02=0,98.
Interpretação: tem 98\% de chance de pelo menos uma das duas pessoas estar viva daqui a 20 anos, dado que tratamos os eventos como independentes.

Passo 7

(Verificação alternativa — útil para a prova) Podemos também calcular usando a fórmula da união:
P(M\cup E)=P(M)+P(E)-P(M\cap E).
Se M e E são independentes, P(M\cap E)=P(M)P(E)=0,8\cdot 0,9=0,72. Então
P(M\cup E)=0,8+0,9-0,72=1,7-0,72=0,98,
mesmo resultado — sinal de que o cálculo está consistente.

Resposta

0,98

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